Google
Câu hỏi: Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(I, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(CD ,\) \(AB.\) Đường chéo \(BD\) cắt \(AI,\) \(CK\) theo thứ tự ở \(E, F.\) Chứng minh rằng: \(DE = EF = FB.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
+) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\) ( tính chất hình bình hành)
\(AK = \displaystyle {1 \over 2}AB \) (do K là trung điểm của AB)
\(CI = \displaystyle {1 \over 2}CD \) (do I là trung điểm của DC)
Suy ra: \(AK = CI (1)\) (vì \(AB=CD)\)
Mặt khác: \(AB // CD \) (do ABCD là hình bình hành)
\(⇒ AK // CI (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra tứ giác \(AKCI\) là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
\(⇒ AI // CK\)
Trong \(∆ ABE\) ta có:
\(K\) là trung điểm của \(AB (gt)\)
\(AI // CK\) hay \(KF // AE\) nên \(BF = EF\) ( tính chất đường trung bình tam giác)
Trong \(∆ DCF\) ta có:
\(I\) là trung điểm của \(DC (gt)\)
\(AI // CK\) hay \(IE // CF\) nên \(DE = EF\) (tính chất đường trung bình tam giác)
Suy ra: \(DE = EF = FB\)
Sử dụng kiến thức:
+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
+) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\) ( tính chất hình bình hành)
\(AK = \displaystyle {1 \over 2}AB \) (do K là trung điểm của AB)
\(CI = \displaystyle {1 \over 2}CD \) (do I là trung điểm của DC)
Suy ra: \(AK = CI (1)\) (vì \(AB=CD)\)
Mặt khác: \(AB // CD \) (do ABCD là hình bình hành)
\(⇒ AK // CI (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra tứ giác \(AKCI\) là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
\(⇒ AI // CK\)
Trong \(∆ ABE\) ta có:
\(K\) là trung điểm của \(AB (gt)\)
\(AI // CK\) hay \(KF // AE\) nên \(BF = EF\) ( tính chất đường trung bình tam giác)
Trong \(∆ DCF\) ta có:
\(I\) là trung điểm của \(DC (gt)\)
\(AI // CK\) hay \(IE // CF\) nên \(DE = EF\) (tính chất đường trung bình tam giác)
Suy ra: \(DE = EF = FB\)