Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng \({\log _2}3 > {\log _3}4\)
Phương pháp giải
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương \({\log _3}2\) và \({\log _3}4\).
Lời giải chi tiết
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left({{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr
& \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\log _3}4 < \frac{1}{{{{\log }_3}2}} = {\log _2}3\\
\Rightarrow {\log _2}3 > {\log _3}4
\end{array}\)
Chú ý:
Ta có cách trình bày khác như sau:
Ta có \({\log _2}3 > {\log _3}4 \) \(\Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_3}2}} > {\log _3}4\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\) (vì \({\log _3}2 > 0\))
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left({{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr
& \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1 \left({dpcm} \right) \cr} \)
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương \({\log _3}2\) và \({\log _3}4\).
Lời giải chi tiết
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left({{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr
& \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\log _3}4 < \frac{1}{{{{\log }_3}2}} = {\log _2}3\\
\Rightarrow {\log _2}3 > {\log _3}4
\end{array}\)
Chú ý:
Ta có cách trình bày khác như sau:
Ta có \({\log _2}3 > {\log _3}4 \) \(\Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_3}2}} > {\log _3}4\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\) (vì \({\log _3}2 > 0\))
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left({{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr
& \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1 \left({dpcm} \right) \cr} \)