Google
Câu hỏi: Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng:
\({\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c - b}}a\)
\({\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c - b}}a\)
Phương pháp giải
Dùng công thức \({\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\) đưa các số hạng trong biểu thức về cùng cơ số a.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c + b}}a\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_a}\left({b + c} \right)}} + {1 \over {{{\log }_a}\left({c - b} \right)}} = {2 \over {{{\log }_a}\left({b + c} \right).{{\log }_a}\left({c - b} \right)}} \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}\left({c - b} \right) + {\log _a}\left({b + c} \right) = 2 \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}[\left({c - b} \right)\left({b + c} \right)] = 2 \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}\left({{c^2} - {b^2}} \right) = 2\cr&\Leftrightarrow {c^2} - {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2} \cr} \)
Tam giác vuông cạnh huyền c, hai cạnh góc vuông a và b nên ta có \({a^2} + {b^2} = {c^2}\) (luôn đúng)
Từ đó suy ra đpcm.
Dùng công thức \({\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\) đưa các số hạng trong biểu thức về cùng cơ số a.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c + b}}a\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_a}\left({b + c} \right)}} + {1 \over {{{\log }_a}\left({c - b} \right)}} = {2 \over {{{\log }_a}\left({b + c} \right).{{\log }_a}\left({c - b} \right)}} \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}\left({c - b} \right) + {\log _a}\left({b + c} \right) = 2 \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}[\left({c - b} \right)\left({b + c} \right)] = 2 \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}\left({{c^2} - {b^2}} \right) = 2\cr&\Leftrightarrow {c^2} - {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2} \cr} \)
Tam giác vuông cạnh huyền c, hai cạnh góc vuông a và b nên ta có \({a^2} + {b^2} = {c^2}\) (luôn đúng)
Từ đó suy ra đpcm.