Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số \(y = \ln {1 \over {1 + x}}\) thỏa mãn hệ thức \(xy' + 1 = {e^y}\)
Lời giải chi tiết
Điều kiện: \(x > -1\).
Ta có \(y = \ln 1 - \ln \left( {1 + x} \right)= - \ln \left({1 + x} \right) \)
\(\Rightarrow y' = - \dfrac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{1 + x}}= - {1 \over {1 + x}}\)
Khi đó: \(xy' + 1 = {{ - x} \over {1 + x}} + 1 = \frac{{ - x + 1 + x}}{{1 + x}}= {1 \over {1 + x}}\)
Lại có \({e^y} = {e^{\ln \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)}} = \frac{1}{{1 + x}}\)
Vậy \(xy' + 1 = {e^y}\)
Chú ý:
Các em có thể tính đạo hàm cách khác nhưng dài hơn như sau:
\(\begin{array}{l}
y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\\
y' = \frac{{\left({\frac{1}{{1 + x}}} \right)'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}} = \left({\frac{1}{{1 + x}}} \right)':\frac{1}{{1 + x}}\\
= - \frac{{\left({1 + x} \right)'}}{{{{\left({1 + x} \right)}^2}}}.\left({1 + x} \right)\\
= - \frac{1}{{{{\left({1 + x} \right)}^2}}}.\left({1 + x} \right)\\
= - \frac{1}{{1 + x}}
\end{array}\)
Điều kiện: \(x > -1\).
Ta có \(y = \ln 1 - \ln \left( {1 + x} \right)= - \ln \left({1 + x} \right) \)
\(\Rightarrow y' = - \dfrac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{1 + x}}= - {1 \over {1 + x}}\)
Khi đó: \(xy' + 1 = {{ - x} \over {1 + x}} + 1 = \frac{{ - x + 1 + x}}{{1 + x}}= {1 \over {1 + x}}\)
Lại có \({e^y} = {e^{\ln \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)}} = \frac{1}{{1 + x}}\)
Vậy \(xy' + 1 = {e^y}\)
Chú ý:
Các em có thể tính đạo hàm cách khác nhưng dài hơn như sau:
\(\begin{array}{l}
y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\\
y' = \frac{{\left({\frac{1}{{1 + x}}} \right)'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}} = \left({\frac{1}{{1 + x}}} \right)':\frac{1}{{1 + x}}\\
= - \frac{{\left({1 + x} \right)'}}{{{{\left({1 + x} \right)}^2}}}.\left({1 + x} \right)\\
= - \frac{1}{{{{\left({1 + x} \right)}^2}}}.\left({1 + x} \right)\\
= - \frac{1}{{1 + x}}
\end{array}\)