Bài 8 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Biện luận theo tham số m số nghiệm và dấu các nghiệm của phương trình

Câu a​

x2​ + 4(m + 3)x + 6(m2​ – 5m + 6) = 0
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Δ’ = 4(m + 3)2​ – 6(m2​ – 5m + 6)
= -2m2​ + 54m=0
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 27
\end{array} \right.\)
S = 4(m + 3)=0\( \Leftrightarrow m = - 3\);
P = 6(m2​ – 5m + 6)=0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = 3
\end{array} \right.\)
Bảng xét dấu:

Bảng trên dẫn đến kết luận sau:
+ Nếu m < 0 hoặc m > 27 thì Δ’ < 0 nên phương trịnh vô nghiệm.
+ Nếu m = 0 hoặc m = 27 thì \(\Delta ' = 0; {c \over a} > 0; - {b \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm dương (nghiệm kép)
+ Nếu 0 < m < 2 hoặc 3 < m < 27 thì \(\Delta ' > 0; {c \over a} > 0; - {b \over a} > 0\) nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
+ Nếu 2 < m < 3 thì \({c \over a} < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
+ Nếu m = 2 hoặc m = 3 thì \({c \over a} = 0 ;{{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.

Câu b​

(m – 1)x2​ – (m – 3)x – m – 3 = 0
Lời giải chi tiết:
Khi m = 1, ta có phương trình 2x – 4 = 0. Phương trình có một nghiệm dương.
Khi m ≠ 1, ta có phương trình bậc hai. Số nghiệm và dấu của các nghiệm phụ thuộc vào dấu của các biểu thức sau:
\(\eqalign{
& \Delta = {(m - 3)^2} + 4(m - 1)(m + 3) \cr&= 5{m^2} + 2m - 3 \cr
& P = {c \over a} = {{ - m - 3} \over {m - 1}} \cr
& S = - {b \over a} = {{m - 3} \over {m - 1}} \cr} \)
Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta suy ra:
+ Nếu \( - 1 < m < {3 \over 5}\) thì Δ < 0 nên phương trình vô nghiệm
+ Nếu m < -3 hoặc m > 1 thì \({c \over a} < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
+ Nếu -3 < m < -1 hoặc \({3 \over 5} < m < 1\) thì \(\Delta > 0; {c \over a} > 0; {{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
+ Nếu m = -3 thì \({c \over a} = 0; {{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm x = 0, nghiệm kia là nghiệm dương
+ Nếu m = -1 hoặc \(m = {3 \over 5}\) thì \(\Delta = 0; {c \over a} > 0; {{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm kép dương.