Bài 11 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Giải và biện luận các hệ phương trình

Câu a​

\(\left\{ \matrix{
(m + 3)x + 2y = m \hfill \cr
(3m + 1)x + (m + 1)y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$D=\left|\begin{array}{cc}m+3 & 2 \\ 3 m+1 & m+1\end{array}\right|=(m+3)(m+1)-2(3 \mathrm{~m}+1)$
$=\mathrm{m}^{2}-2 m+1=(m-1)^{2}$
$D_{x}=\left|\begin{array}{cc}m & 2 \\ 1 & m+1\end{array}\right|=m^{2}+m-2=(m-1)(m+2)$
$D_{y}=\left|\begin{array}{cc}m+3 & m \\ 3 m+1 & 1\end{array}\right|=m+3-m(3 m+1)=-3\left(m^{2}-1\right)$

+ Nếu m ≠ 1 thì hệ có nghiệm (x, y) với:
\(\eqalign{
& x = {{{D_x}} \over D} = {{(m - 1)(m + 2)} \over {{{(m - 1)}^2}}} = {{m + 2} \over {m - 1}} \cr
& y = {{{D_y}} \over D} = {{ - 3({m^2} - 1)} \over {{{(m - 1)}^2}}} = {{ - 3(m + 1)} \over {m - 1}} \cr} \)
+ Nếu m = 1 thì hệ thành
\(\left\{ \matrix{
4x + 2y = 1 \hfill \cr
4x + 2y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = - 2x + {1 \over 2}\)
Hệ có vô số nghiệm \((x, - 2x + {1 \over 2})\) với x ∈ R

Câu b​

\(\left\{ \matrix{
(2m + 3)x + 5y = m - 11 \hfill \cr
(m + 2)x + 2y = m - 2 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$D=\left|\begin{array}{cc}2 m+3 & 5 \\ m+2 & 2\end{array}\right|=-m-4=-(m+4)$
$D_{x}=\left|\begin{array}{cc}m-11 & 5 \\ m-2 & 2\end{array}\right|=-3 m-12=-3(m+4)$
$D_{y}=\left|\begin{array}{cc}2 m+3 & m-11 \\ m+2 & m-2\end{array}\right|=(2 m+3)(m-2)-(m+2)(m-11)=(m+4)^{2}$

+Với \(m ≠ -4\) thì hệ có nghiệm (x, y) với:
\(\eqalign{
& x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 3(m + 4)} \over { - (m + 4)}} = 3 \cr
& y = {{{D_y}} \over D} = {{{{(m + 4)}^2}} \over { - (m + 4)}} = - m - 4 \cr} \)
+ Với \(m = -4\) thì \(D=D_x=D_y=0\) nên hệ có vô số nghiệm.
Khi đó hệ là
\(\left\{ \begin{array}{l}
- 5x + 5y = - 15\\
- 2x + 2y = - 6
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 3\\
x - y = 3
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \in R\\
y = x - 3
\end{array} \right.\)
Vậy:
+) với \(m\ne -4\) hệ có nghiệm \((3;-m-4)\).
+) với m=-4 hệ có nghiệm \((x; x – 3), x ∈ \mathbb R\)