Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC,\) đường tròn \((K)\) bằng tiếp góc trong góc \(A\) tiếp xúc với các tia \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(E\) và \(F.\) Cho \(BC = a, AC = b, AB = c.\) Chứng minh rằng:
\(a)\) \(AE = AF = \displaystyle{{a + b + c} \over 2}\)
\(b)\) \(BE = \displaystyle{{a + b - c} \over 2};\)
\(c)\) \(CF = \displaystyle{{a + c - b} \over 2}\)
\(a)\) \(AE = AF = \displaystyle{{a + b + c} \over 2}\)
\(b)\) \(BE = \displaystyle{{a + b - c} \over 2};\)
\(c)\) \(CF = \displaystyle{{a + c - b} \over 2}\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Gọi \(D\) là tiếp điểm của đường tròn \((K)\) với cạnh \(BC.\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\(BE = BD; CD = CF\)
Mà: \(AE = AB + BE\)
\(AF = AC + CF\)
Suy ra: \( AE + AF = AB + BE + AC + CF\)
\( = AB + AC + (BD + DC)\)
\( = AB + AC + BC = c + b + a\)
Mà \(AE = AF\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: \(\displaystyle {\rm{AE = AF = }}{{a + b + c} \over 2}\)
\(b)\) Ta có: \(BE = AE – AB \)\(= \displaystyle {{a + b + c} \over 2} - c = {{a + b - c} \over 2}\)
\(c)\) Ta có: \(CF = AF – AC \)\(= \displaystyle {{a + b + c} \over 2} - b = {{a + c - b} \over 2}.\)
Sử dụng kiến thức: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Gọi \(D\) là tiếp điểm của đường tròn \((K)\) với cạnh \(BC.\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\(BE = BD; CD = CF\)
Mà: \(AE = AB + BE\)
\(AF = AC + CF\)
Suy ra: \( AE + AF = AB + BE + AC + CF\)
\( = AB + AC + (BD + DC)\)
\( = AB + AC + BC = c + b + a\)
Mà \(AE = AF\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: \(\displaystyle {\rm{AE = AF = }}{{a + b + c} \over 2}\)
\(b)\) Ta có: \(BE = AE – AB \)\(= \displaystyle {{a + b + c} \over 2} - c = {{a + b - c} \over 2}\)
\(c)\) Ta có: \(CF = AF – AC \)\(= \displaystyle {{a + b + c} \over 2} - b = {{a + c - b} \over 2}.\)