Google
Câu hỏi: Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Vẽ các tiếp tuyến \(Ax, By\) \((Ax, By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB).\) Qua một điểm \(M\) thuộc nửa hình tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt \(Ax,\) \(By\) theo thứ tự ở \(C, D.\) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC, H\) là giao điểm của \(MN\) và \(AB.\) Chứng minh rằng:
\(a)\) \(MN ⊥ AB;\)
\(b)\) \(MN = NH.\)
\(a)\) \(MN ⊥ AB;\)
\(b)\) \(MN = NH.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+) Sử dụng hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Sử dụng định lí Ta-lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
\(Ax ⊥ AB\)
\(By ⊥ AB\)
Suy ra: \(Ax // By\) hay \(AC // BD\)
Trong tam giác \(BND,\) ta có: \(AC // BD\)
Suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{BD} \over {AC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét) \((1)\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\(AC = CM\) và \(BD = DM (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\)
Trong tam giác \(ACD,\) ta có: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\)
Suy ra: \(MN // AC\) ( Theo định lí đảo định lí Ta-lét)
Mà: \(AC ⊥ AB\) \((\)vì \(Ax ⊥ AB)\)
Suy ra: \(MN ⊥ AB\)
\(b)\) Trong tam giác \(ACD,\) ta có: \(MN // AC\)
Suy ra: \(\displaystyle{{MN} \over {AC}} = {{DN} \over {DA}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét) \((3)\)
Trong tam giác \(ABC,\) ta có: \(NH // AC\) ( vì \(M, N, H\) thẳng hàng)
Suy ra: \(\displaystyle{{HN} \over {AC}} = {{BN} \over {BC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét) \((4)\)
Trong tam giác \(BDN,\) ta có: \(AC // BD\)
Suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{BN} \over {NC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)
\(\displaystyle \Rightarrow {{ND} \over {DN + NA}} = {{BN} \over {BN + NC}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{ND} \over {DA}} = {{BN} \over {BC}}\) \((5)\)
Từ \((3), (4)\) và \((5)\) suy ra: \(\displaystyle{{MN} \over {AC}} = {{HN} \over {AC}} \Rightarrow MN = HN\).
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+) Sử dụng hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Sử dụng định lí Ta-lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
\(Ax ⊥ AB\)
\(By ⊥ AB\)
Suy ra: \(Ax // By\) hay \(AC // BD\)
Trong tam giác \(BND,\) ta có: \(AC // BD\)
Suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{BD} \over {AC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét) \((1)\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\(AC = CM\) và \(BD = DM (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\)
Trong tam giác \(ACD,\) ta có: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\)
Suy ra: \(MN // AC\) ( Theo định lí đảo định lí Ta-lét)
Mà: \(AC ⊥ AB\) \((\)vì \(Ax ⊥ AB)\)
Suy ra: \(MN ⊥ AB\)
\(b)\) Trong tam giác \(ACD,\) ta có: \(MN // AC\)
Suy ra: \(\displaystyle{{MN} \over {AC}} = {{DN} \over {DA}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét) \((3)\)
Trong tam giác \(ABC,\) ta có: \(NH // AC\) ( vì \(M, N, H\) thẳng hàng)
Suy ra: \(\displaystyle{{HN} \over {AC}} = {{BN} \over {BC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét) \((4)\)
Trong tam giác \(BDN,\) ta có: \(AC // BD\)
Suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{BN} \over {NC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)
\(\displaystyle \Rightarrow {{ND} \over {DN + NA}} = {{BN} \over {BN + NC}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{ND} \over {DA}} = {{BN} \over {BC}}\) \((5)\)
Từ \((3), (4)\) và \((5)\) suy ra: \(\displaystyle{{MN} \over {AC}} = {{HN} \over {AC}} \Rightarrow MN = HN\).