Google
Câu hỏi: Cho đường tròn \((O; 3cm)\) và điểm \(A\) có \(AO = 5cm.\) Kẻ các tiếp tuyến \(AB, AC\) với đường tròn \((B, C\) là tiếp điểm\().\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC.\)
\(a)\) Tính độ dài \(OH.\)
\(b)\) Qua điểm \(M\) bất kì thuộc cung nhỏ \(BC,\) kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(D\) và \(E.\) Tính chu vi tam giác \(ADE.\)
\(a)\) Tính độ dài \(OH.\)
\(b)\) Qua điểm \(M\) bất kì thuộc cung nhỏ \(BC,\) kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(D\) và \(E.\) Tính chu vi tam giác \(ADE.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
\(*\)) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
\(*\)) Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
\(*\)) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Ta có: \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra \(∆ABC\) cân tại A.
\(AO\) là tia phân giác của góc \(BAC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra \(AO\) là đường cao của tam giác \(ABC\) (tính chất tam giác cân).
Do đó \(AO\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\)
Lại có: \(AB ⊥ OB\) (tính chất tiếp tuyến)
Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) có \(BH ⊥ AO\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(O{B^2} = OH.OA \)\(\Rightarrow OH =\displaystyle {{O{B^2}} \over {OA}}\)\( =\displaystyle {{{3^2}} \over 5} = 1,8\) (cm)
\(b)\) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(ABO,\) ta có:
\(A{O^2} = A{B^2} + B{O^2}\)
Suy ra: \(A{B^2} = A{O^2} - B{O^2} = {5^2} - {3^2} = 16\)
\(\Rightarrow AB = 4 (cm)\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\(DB = DM\)
\(EM = EC\)
Chu vi của tam giác \(ADE\) bằng:
\(AD + DE + EA \)\(= AD + DM + ME + EA\)\(= AD + DB + AE + EC\)
\(= AB + AC = 2AB\) (vì \(AB=AC\) (cmt))
\(= 2.4 = 8 (cm).\)
Sử dụng kiến thức:
+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
\(*\)) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
\(*\)) Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
\(*\)) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Ta có: \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra \(∆ABC\) cân tại A.
\(AO\) là tia phân giác của góc \(BAC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra \(AO\) là đường cao của tam giác \(ABC\) (tính chất tam giác cân).
Do đó \(AO\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\)
Lại có: \(AB ⊥ OB\) (tính chất tiếp tuyến)
Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) có \(BH ⊥ AO\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(O{B^2} = OH.OA \)\(\Rightarrow OH =\displaystyle {{O{B^2}} \over {OA}}\)\( =\displaystyle {{{3^2}} \over 5} = 1,8\) (cm)
\(b)\) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(ABO,\) ta có:
\(A{O^2} = A{B^2} + B{O^2}\)
Suy ra: \(A{B^2} = A{O^2} - B{O^2} = {5^2} - {3^2} = 16\)
\(\Rightarrow AB = 4 (cm)\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\(DB = DM\)
\(EM = EC\)
Chu vi của tam giác \(ADE\) bằng:
\(AD + DE + EA \)\(= AD + DM + ME + EA\)\(= AD + DB + AE + EC\)
\(= AB + AC = 2AB\) (vì \(AB=AC\) (cmt))
\(= 2.4 = 8 (cm).\)