Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, \(r\) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng: \(AB + AC = 2(R + r).\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC.\)
Ta có: \( BC = 2R\)
Giả sử đường tròn tâm \((O)\) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB tại \(D, AC\) tại \(E\) và \(BC\) tại \(F.\)
Ta có: \(OD \bot AB \Rightarrow \widehat {ODA} = 90^\circ \)
\(OE \bot AC \Rightarrow \widehat {OEA} = 90^\circ \)
\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (gt)
Tứ giác \(ADOE\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật
Lại có: \(AD = AE\) (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau)
Vậy tứ giác \(ADOE\) là hình vuông.
Suy ra: \(AD = AE = EO = OD = r\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
+) \( AD = AE\)
+) \( BD = BF\)
+) \( CE = CF\)
Ta có: \( 2R + 2r =BC+AD+AE\)\(= BF + FC + AD + AE\)
\( = (BD + AD) + (AE +CE)\)
\( = AB + AC\)
Vậy \(AB + AC = 2 (R + r).\)
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC.\)
Ta có: \( BC = 2R\)
Giả sử đường tròn tâm \((O)\) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB tại \(D, AC\) tại \(E\) và \(BC\) tại \(F.\)
Ta có: \(OD \bot AB \Rightarrow \widehat {ODA} = 90^\circ \)
\(OE \bot AC \Rightarrow \widehat {OEA} = 90^\circ \)
\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (gt)
Tứ giác \(ADOE\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật
Lại có: \(AD = AE\) (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau)
Vậy tứ giác \(ADOE\) là hình vuông.
Suy ra: \(AD = AE = EO = OD = r\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
+) \( AD = AE\)
+) \( BD = BF\)
+) \( CE = CF\)
Ta có: \( 2R + 2r =BC+AD+AE\)\(= BF + FC + AD + AE\)
\( = (BD + AD) + (AE +CE)\)
\( = AB + AC\)
Vậy \(AB + AC = 2 (R + r).\)