Google
Câu hỏi: Cho đường tròn \((O; 2cm),\) các tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) kẻ từ \(A\) đến đường tròn vuông góc với nhau tại \(A\) \((B\) và \(C\) là các tiếp điểm\().\)
\(a)\) Tứ giác \(ABOC\) là hình gì\(?\) Vì sao\(?\)
\(b)\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc cung nhỏ \(BC.\) Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(D\) và \(E.\) Tính chu vi tam giác \(ADE.\)
\(c)\) Tính số đo góc \(DOE.\)
\(a)\) Tứ giác \(ABOC\) là hình gì\(?\) Vì sao\(?\)
\(b)\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc cung nhỏ \(BC.\) Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(D\) và \(E.\) Tính chu vi tam giác \(ADE.\)
\(c)\) Tính số đo góc \(DOE.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
\(*\)) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
\(*\)) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
\(*\)) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
\(*\)) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Ta có: \(AB ⊥ AC \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)
\(AB ⊥ BO \Rightarrow \widehat {ABO} = 90^\circ \)
\( AC ⊥ CO \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \)
Tứ giác \(ABOC\) có \(3\) góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Mặt khác: \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tứ giác \(ABOC\) là hình vuông.
\(b)\) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\( DB = DM\)
\( EM = EC\)
Chu vi của tam giác \(ADE\) bằng:
\(AD + DE + EA \)\(= AD + DM + ME + EA\)
\( = AD + DB + AE + EC\)
\( = AB + AC = 2AB\)
Mà tứ giác \(ABOC\) là hình vuông (chứng minh trên) nên:
\(AB = OB = 2 (cm)\)
Vậy chu vi của tam giác \(ADE\) bằng: \(2.2 = 4 (cm)\)
\(c)\) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
+ \(OD\) là tia phân giác của góc \(BOM\)
Suy ra: \(\widehat {BOD} = \widehat {DOM} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {BOM}\)
+ \( OE\) là tia phân giác của góc \(COM\)
Suy ra: \(\widehat {COE} = \widehat {EOM} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {COM}\)
Suy ra:
\(\widehat {DOE} = \widehat {DOM} + \widehat {EOM} \)
\(= \displaystyle {1 \over 2}(\widehat {BOM} + \widehat {COM})\)
\(= \displaystyle {1 \over 2}\widehat {COB} = {1 \over 2}.90^\circ = 45^\circ \).
Sử dụng kiến thức:
\(*\)) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
\(*\)) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
\(*\)) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
\(*\)) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Ta có: \(AB ⊥ AC \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)
\(AB ⊥ BO \Rightarrow \widehat {ABO} = 90^\circ \)
\( AC ⊥ CO \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \)
Tứ giác \(ABOC\) có \(3\) góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Mặt khác: \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tứ giác \(ABOC\) là hình vuông.
\(b)\) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\( DB = DM\)
\( EM = EC\)
Chu vi của tam giác \(ADE\) bằng:
\(AD + DE + EA \)\(= AD + DM + ME + EA\)
\( = AD + DB + AE + EC\)
\( = AB + AC = 2AB\)
Mà tứ giác \(ABOC\) là hình vuông (chứng minh trên) nên:
\(AB = OB = 2 (cm)\)
Vậy chu vi của tam giác \(ADE\) bằng: \(2.2 = 4 (cm)\)
\(c)\) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
+ \(OD\) là tia phân giác của góc \(BOM\)
Suy ra: \(\widehat {BOD} = \widehat {DOM} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {BOM}\)
+ \( OE\) là tia phân giác của góc \(COM\)
Suy ra: \(\widehat {COE} = \widehat {EOM} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {COM}\)
Suy ra:
\(\widehat {DOE} = \widehat {DOM} + \widehat {EOM} \)
\(= \displaystyle {1 \over 2}(\widehat {BOM} + \widehat {COM})\)
\(= \displaystyle {1 \over 2}\widehat {COB} = {1 \over 2}.90^\circ = 45^\circ \).