Bài 5 trang 44 SGK Giải tích 12

Câu hỏi:

Câu a​

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số   .
Tập xác định : .
* Sự biến thiên:
Ta có: ;
.
- Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng và .
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại ;
Hàm số đạt cực tiểu tại ;
- Giới hạn:

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:
Đồ thị giao tại điểm và nhận làm tâm đối xứng.

Câu b​

b) Dựa vào đồ thị , biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số .
.
Phương pháp giải:
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
- Dựa vào đồ thị hàm số câu a để biện luận số nghiệm của phương trình.
+) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số    với đường thẳng
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
  (1). Số nghiệm của (1) chính là  số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : .
Từ đồ thị ta thấy :
+)   : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
+)   : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+)   : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.
+)   : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+)   : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
Kết luận:
+ Với m < -2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.
+ Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.
+ Với -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.