Google
Câu hỏi:
$y = -x^3+ 3x + 1$.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số $y = -x^3+ 3x + 1$.
Tập xác định : $\mathbb R$.
* Sự biến thiên:
Ta có: $y' = -3x^2+ 3 = -3\left(x^2-1\right)$ ;
$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$.
- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty;-1\right)$ và $\left(1;+\infty\right)$.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ ; $y_{CĐ}=3$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ ; $y_{CT}=-1$
- Giới hạn:
$\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow - \infty } = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow + \infty } = - \infty \cr} $
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị giao $Oy$ tại điểm $I\left(0;1\right)$ và nhận $I$ làm tâm đối xứng.
$x^3- 3x + m = 0$.
Phương pháp giải:
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
- Dựa vào đồ thị hàm số câu a để biện luận số nghiệm của phương trình.
+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=a$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với đường thẳng $y=a.$
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
$x^3- 3x + m = 0$ $⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1$ (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : $y = m + 1$.
Từ đồ thị ta thấy :
+) $m + 1 < -1 ⇔ m < -2 $ : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
+) $m + 1 = -1 ⇔ m = -2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) $-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2$ : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.
+) $ m + 1 = 3 ⇔ m = 2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) $m + 1 > 3 ⇔ m > 2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
Kết luận:
+ Với m < -2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.
+ Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.
+ Với -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.
Câu a
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số$y = -x^3+ 3x + 1$.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số $y = -x^3+ 3x + 1$.
Tập xác định : $\mathbb R$.
* Sự biến thiên:
Ta có: $y' = -3x^2+ 3 = -3\left(x^2-1\right)$ ;
$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$.
- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty;-1\right)$ và $\left(1;+\infty\right)$.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ ; $y_{CĐ}=3$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ ; $y_{CT}=-1$
- Giới hạn:
$\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow - \infty } = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow + \infty } = - \infty \cr} $
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị giao $Oy$ tại điểm $I\left(0;1\right)$ và nhận $I$ làm tâm đối xứng.
Câu b
b) Dựa vào đồ thị $\left(C\right)$, biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số $m$.$x^3- 3x + m = 0$.
Phương pháp giải:
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
- Dựa vào đồ thị hàm số câu a để biện luận số nghiệm của phương trình.
+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=a$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với đường thẳng $y=a.$
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
$x^3- 3x + m = 0$ $⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1$ (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : $y = m + 1$.
Từ đồ thị ta thấy :
+) $m + 1 < -1 ⇔ m < -2 $ : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
+) $m + 1 = -1 ⇔ m = -2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) $-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2$ : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.
+) $ m + 1 = 3 ⇔ m = 2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) $m + 1 > 3 ⇔ m > 2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
Kết luận:
+ Với m < -2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.
+ Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.
+ Với -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!