Google
Câu hỏi: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
Phương pháp giải:
+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y=f\left( x \right)$ lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=a$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với đường thẳng $y=a.$
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5$
+) Tập xác định: $D=R.$
+) Sự biến thiên:
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'=0$ $\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right..$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(- \infty ;0 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$ ; hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\ 2 \right).$
Hàm số đạt cực đại tại $x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.$
+) Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow + \infty } y = + \infty $
Bảng biến thiên:
+) Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm $\left( 0;\ 5 \right).$
Số nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5$ và trục hoành.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Phương pháp giải:
+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y=f\left( x \right)$ lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=a$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với đường thẳng $y=a.$
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
$-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0.$
Ta có: $Pt\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2.$
Xét hàm số: $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.$
Tập xác định: $D=R.$
Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6x$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6x=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{aligned} \right..$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\ 0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right);$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\ 1 \right).$
Hàm số đạt cực đại tại $x=0;\ \ {{y}_{CD}}=0.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1;\ {{y}_{CT}}=-1.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow + \infty } y = + \infty $
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình $-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=-2.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Cách khác:
Xét hàm số y = f(x) = -2x3 + 3x2 – 2.
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1)
y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1
+ Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow - \infty } f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow + \infty } f\left( x \right) = - \infty $
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất
⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình -2x3 + 3x2 - 2 = 0 chỉ có một nghiệm.
Phương pháp giải:
+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y=f\left( x \right)$ lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=a$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với đường thẳng $y=a.$
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
$2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.$
Xét hàm số: $y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.$
Tập xác định: $D=R.$
Sự biến thiên: $y'=4x-4{{x}^{3}}\Rightarrow y'=0$ $\Leftrightarrow 4x-4{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}& x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{aligned} \right..$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\ -1 \right)$ và $\left( 0;\ 1 \right);$ hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;\ 0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right).$
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm $x=-1$ và $x=1;\ \ {{y}_{CD}}=1.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0;\ {{y}_{CT}}=0.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow + \infty } y = - \infty $
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình $2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}$ và đường thẳng $y=-1.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị hàm số $y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}$ tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Câu a
${x^3}-3{x^2} + 5 = 0$ ;Phương pháp giải:
+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y=f\left( x \right)$ lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=a$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với đường thẳng $y=a.$
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5$
+) Tập xác định: $D=R.$
+) Sự biến thiên:
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'=0$ $\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right..$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(- \infty ;0 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$ ; hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\ 2 \right).$
Hàm số đạt cực đại tại $x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.$
+) Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow + \infty } y = + \infty $
Bảng biến thiên:
+) Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm $\left( 0;\ 5 \right).$
Số nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5$ và trục hoành.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Câu b
$- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0$ ;Phương pháp giải:
+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y=f\left( x \right)$ lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=a$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với đường thẳng $y=a.$
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
$-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0.$
Ta có: $Pt\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2.$
Xét hàm số: $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.$
Tập xác định: $D=R.$
Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6x$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6x=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{aligned} \right..$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\ 0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right);$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\ 1 \right).$
Hàm số đạt cực đại tại $x=0;\ \ {{y}_{CD}}=0.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1;\ {{y}_{CT}}=-1.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow + \infty } y = + \infty $
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình $-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=-2.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Cách khác:
Xét hàm số y = f(x) = -2x3 + 3x2 – 2.
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1)
y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1
+ Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow - \infty } f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow + \infty } f\left( x \right) = - \infty $
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất
⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình -2x3 + 3x2 - 2 = 0 chỉ có một nghiệm.
Câu c
$2{x^2}-{x^4} = - 1$.Phương pháp giải:
+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y=f\left( x \right)$ lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=a$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với đường thẳng $y=a.$
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
$2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.$
Xét hàm số: $y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.$
Tập xác định: $D=R.$
Sự biến thiên: $y'=4x-4{{x}^{3}}\Rightarrow y'=0$ $\Leftrightarrow 4x-4{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}& x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{aligned} \right..$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\ -1 \right)$ và $\left( 0;\ 1 \right);$ hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;\ 0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right).$
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm $x=-1$ và $x=1;\ \ {{y}_{CD}}=1.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0;\ {{y}_{CT}}=0.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow + \infty } y = - \infty $
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình $2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}$ và đường thẳng $y=-1.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị hàm số $y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}$ tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!