Bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12

Câu hỏi:

Câu a​

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
$y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}$ ;
Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*) Xét chiều biến thiên của hàm số:
+) Tính đạo hàm.
+) Tìm các điểm ${{x}_{i}}$ mà tại đó đạo hàm có $y'=0$ hoặc đạo hàm không xác định.
+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*) Tìm cực trị: $y\left( {{x}_{i}} \right).$
*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có. ( $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {x_0}} y$ )
*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: $x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).$
+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).$
+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Lời giải chi tiết:
$y=2+3x-{{x}^{3}}.$
1) TXĐ: $D=R.$
2) Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:
Ta có: $y'=3-3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3-3{{x}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right..$
Trên khoảng $\left( -1;\ 1 \right),\ y'>0$ nên hàm số số đồng biến, trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$ có $y'<0$ nên hàm số nghịch biến.
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại $x=1;\ \ {{y}_{CD}}=y\left( 1 \right)=4.$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1;\ \ {{y}_{CT}}=y\left( -1 \right)=0.$
+) Giới hạn vô cực:

+) Bảng biến thiên:

+) Đồ thị:
Ta có: $2+3x-{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right..$
Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm $\left( 2;\ 0 \right)$ và $\left( -1;\ 0 \right).$
Ta có: $y''=-6x$ ; $y''=0 ⇔ x=0$. Với $x=0$ ta có $y=2$. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm $I\left(0;2\right)$ làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ $x=-2$ suy ra $y=4$.

Câu b​

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x$ ;
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Sự biến thiên:
Đạo hàm: $y' = 3x^2+ 8x + 4$.
$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \dfrac{2}{3} \end{array} \right.$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - \dfrac{2}{3}; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - 2; - \dfrac{2}{3}} \right).$
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$, giá trị cực đại $y$ cđ ​= $y\left(-2\right) = 0$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\dfrac{2}{3}$, giá trị cực tiểu $y_{ct}=y\left( \left( -\dfrac{2}{3} \right) \right)=-\dfrac{32}{27}.$
Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $\left(0;0\right)$, cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: ${x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0$ hoặc $x=-2$ nên tọa độ các giao điểm là $\left(0;0\right)$ và $\left(-2;0\right)$.
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: $y''=6x+8;$ $\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.$

Câu c​

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}9x$ ;
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số $y = x^3 + x^2+ 9x$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Sự biến thiên:
Đạo hàm: $y' = 3x^2+ 2x + 9$ $=2x^2+(x^2+2x+1)+8$ $=2x^2+(x+1)^2+8 > 0, ∀x.$
Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.
Giới hạn:

Bảng biến thiên :

Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại điểm $(0;0)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;0)$.
Tâm đối xứng:
$y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔$ $x=-\frac{1}{3}.$
Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: $I\left ( -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ).$
Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-1;-9)$ và $\left ( \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ).$

Câu d​

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5$
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số $y=-2x^3+5$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Sự biến thiên:
Đạo hàm: $y' = -6x^2≤ 0, ∀x$.
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb R$.
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Tính đối xứng: $y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0$.
Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn $I(0;5)$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;5)$, đồ thị cắt trục $Ox$ tại điểm $\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).$