Google
Câu hỏi: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*) Xét chiều biến thiên của hàm số:
+) Tính đạo hàm.
+) Tìm các điểm ${{x}_{i}}$ mà tại đó đạo hàm có $y'=0$ hoặc đạo hàm không xác định.
+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*) Tìm cực trị: $y\left( {{x}_{i}} \right).$
*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có): $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {x_0}} y,...$
*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: $x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).$
+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).$
+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định : $\displaystyle \mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}$ ;
* Sự biến thiên:
Ta có: $\displaystyle y' = {{ - 4} \over {{{\left(x - 1\right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$ ;
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: $\displaystyle \left(-\infty;1\right)$ và $\displaystyle \left(1;+\infty\right)$.
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow {1^ - }} = - \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow {1^ + }} = +\infty$ ; $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow \pm \infty } = 1$
Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = 1$ ; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y = 1$.
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I\left(1;1\right)$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: $\displaystyle \left(0;-3\right)$, trục hoành tại $\displaystyle \left(-3;0\right)$
Lời giải chi tiết:
Tập xác định : $\displaystyle \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} $ ;
* Sự biến thiên:
Ta có: $\displaystyle y' = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2$
- Hàm số đồng biến trên khoảng: $\displaystyle \left(-\infty;2\right)$ và $\displaystyle \left(2;+\infty\right)$
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow {2^ - }} = + \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow {2^ + }} = - \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow \pm \infty } = - 1$
Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = 2$ ; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y = -1$.
Bảng biến thiên :
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I\left(2;-1\right)$ lầm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: $\displaystyle \left( {0; - {1 \over 4}} \right)$, trục hoành tại: $\displaystyle \left( {{1 \over 2};0} \right)$
Lời giải chi tiết:
Tập xác định : $\displaystyle R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}$ ;
Sự biến thiên:
Ta có: $\displaystyle y' = {{ - 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - {1 \over 2}$
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: $\displaystyle \left(-\infty;{-1\over 2}\right)$ và $\displaystyle \left({-1\over 2};+\infty\right)$
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow - {{{1 \over 2}}^ - }} = - \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow - {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow \pm \infty } = - {1 \over 2}$
Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = - {1 \over 2}$ ; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y = - {1 \over 2}$.
Bảng biến thiên :
* Đồ thị
Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I\left( - {1 \over 2}; - {1 \over 2}\right)$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao $\displaystyle Ox$ tại: $\displaystyle \left(2;0\right)$, $\displaystyle Oy$ tại: $\displaystyle \left(0;2\right)$
Câu a
$\displaystyle {{x + 3} \over {x - 1}}$,Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*) Xét chiều biến thiên của hàm số:
+) Tính đạo hàm.
+) Tìm các điểm ${{x}_{i}}$ mà tại đó đạo hàm có $y'=0$ hoặc đạo hàm không xác định.
+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*) Tìm cực trị: $y\left( {{x}_{i}} \right).$
*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có): $\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow {x_0}} y,...$
*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: $x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).$
+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).$
+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định : $\displaystyle \mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}$ ;
* Sự biến thiên:
Ta có: $\displaystyle y' = {{ - 4} \over {{{\left(x - 1\right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$ ;
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: $\displaystyle \left(-\infty;1\right)$ và $\displaystyle \left(1;+\infty\right)$.
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow {1^ - }} = - \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow {1^ + }} = +\infty$ ; $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow \pm \infty } = 1$
Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = 1$ ; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y = 1$.
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I\left(1;1\right)$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: $\displaystyle \left(0;-3\right)$, trục hoành tại $\displaystyle \left(-3;0\right)$
Câu b
$\displaystyle {{1 - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} - 4}}$,Lời giải chi tiết:
Tập xác định : $\displaystyle \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} $ ;
* Sự biến thiên:
Ta có: $\displaystyle y' = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2$
- Hàm số đồng biến trên khoảng: $\displaystyle \left(-\infty;2\right)$ và $\displaystyle \left(2;+\infty\right)$
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow {2^ - }} = + \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow {2^ + }} = - \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow \pm \infty } = - 1$
Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = 2$ ; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y = -1$.
Bảng biến thiên :
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I\left(2;-1\right)$ lầm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: $\displaystyle \left( {0; - {1 \over 4}} \right)$, trục hoành tại: $\displaystyle \left( {{1 \over 2};0} \right)$
Câu c
$\displaystyle {{ - x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}$Lời giải chi tiết:
Tập xác định : $\displaystyle R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}$ ;
Sự biến thiên:
Ta có: $\displaystyle y' = {{ - 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - {1 \over 2}$
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: $\displaystyle \left(-\infty;{-1\over 2}\right)$ và $\displaystyle \left({-1\over 2};+\infty\right)$
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow - {{{1 \over 2}}^ - }} = - \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow - {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \Rightarrow \pm \infty } = - {1 \over 2}$
Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = - {1 \over 2}$ ; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y = - {1 \over 2}$.
Bảng biến thiên :
* Đồ thị
Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I\left( - {1 \over 2}; - {1 \over 2}\right)$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao $\displaystyle Ox$ tại: $\displaystyle \left(2;0\right)$, $\displaystyle Oy$ tại: $\displaystyle \left(0;2\right)$
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!