Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm:
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức cô-si
Lời giải chi tiết:
Theo bất đẳng thức Cô – si ta có \(({x^2} + 1) + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 1}}} = 2\) \(\Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} \ge 1\forall x\)
Vì vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức cô-si
Lời giải chi tiết:
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} - x + 1} ;\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) ta được:
\(\sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) \(\ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} - x + 1} .\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} = 2\)
\(\Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} \ge 2\)
Vậy bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\) vô nghiệm.
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si và hằng đẳng thức \((a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3}\).
Chú ý: \(\sqrt {\sqrt a } = \sqrt[4]{a}\).
Lời giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} \) và \(\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \) ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \\ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left({{x^4} - {x^2} + 1} \right)} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {{x^6} + 1} } \\ = 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \ge 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\end{array}\)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu a
\({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} < 1\).Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức cô-si
Lời giải chi tiết:
Theo bất đẳng thức Cô – si ta có \(({x^2} + 1) + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 1}}} = 2\) \(\Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} \ge 1\forall x\)
Vì vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu b
\(\sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\).Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức cô-si
Lời giải chi tiết:
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} - x + 1} ;\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) ta được:
\(\sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) \(\ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} - x + 1} .\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} = 2\)
\(\Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} \ge 2\)
Vậy bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\) vô nghiệm.
Câu c
\(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} < 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\).Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si và hằng đẳng thức \((a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3}\).
Chú ý: \(\sqrt {\sqrt a } = \sqrt[4]{a}\).
Lời giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} \) và \(\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \) ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \\ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left({{x^4} - {x^2} + 1} \right)} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {{x^6} + 1} } \\ = 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \ge 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\end{array}\)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!