Google
Câu hỏi: Giải các phương trình bậc hai sau:
a) \({x^2} - 10x + 24 \ge 0\) b) \( - 4{x^2} + 28x - 49 \le 0\)
c) \({x^2} - 5x + 1 > 0\) d) \(9{x^2} - 24x + 16 \le 0\)
e) \(15{x^2} - x - 2 < 0\) g) \( - {x^2} + 8x - 17 > 0\)
h) \( - 25{x^2} + 10x - 1 < 0\) i) \(4{x^2} + 4x + 7 \le 0\)
a) \({x^2} - 10x + 24 \ge 0\) b) \( - 4{x^2} + 28x - 49 \le 0\)
c) \({x^2} - 5x + 1 > 0\) d) \(9{x^2} - 24x + 16 \le 0\)
e) \(15{x^2} - x - 2 < 0\) g) \( - {x^2} + 8x - 17 > 0\)
h) \( - 25{x^2} + 10x - 1 < 0\) i) \(4{x^2} + 4x + 7 \le 0\)
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm nghiệm của tam thức bậc hai có trong bất đẳng thức
Bước 2: Xác định dấu của tam thức
Lời giải chi tiết
a) Tam thức \({x^2} - 10x + 24\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = 4;{x_2} = 6\)
Suy ra \({x^2} - 10x + 24 \ge 0\) khi và chỉ khi \(\left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)
b) Tam thức \( - 4{x^2} + 28x - 49\) có \(a = - 4 < 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{7}{2}\)
Suy ra \( - 4{x^2} + 28x - 49 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\)
c) Tam thức \({x^2} - 5x + 1\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{2};{x_2} = \frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\)
Suy ra \({x^2} - 5x + 1 > 0\) khi và chỉ khi \(\left( { - \infty ;\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty } \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty } \right)\)
d) Tam thức \(9{x^2} - 24x + 16\) có \(a = 9 > 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{4}{3}\)
Do đó \(9{x^2} - 24x + 16 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra \(9{x^2} - 24x + 16 \le 0\) có nghiệm khi \(9{x^2} - 24x + 16 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{ {\frac{4}{3}} \right\}\)
e) Tam thức \(15{x^2} - x - 2\) có \(a = 15 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = - \frac{1}{3};{x_2} = \frac{2}{5}\)
Suy ra \(15{x^2} - x - 2 < 0\) khi và chỉ khi \(\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\)
g) Tam thức \( - {x^2} + 8x - 17\) có \(a = - 1 < 0\) và \(\Delta = - 4 < 0\)
Do đó \( - {x^2} + 8x - 17 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra không có giá trị x thỏa mãn bất phương trình \( - {x^2} + 8x - 17 > 0\)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm
h) Tam thức \( - 25{x^2} + 10x - 1\) có \(a = - 25 < 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{1}{5}\)
Do đó \( - {x^2} + 8x - 17 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra \( - 25{x^2} + 10x - 1 < 0\) khi và chỉ khi \(x \ne \frac{1}{5}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{5}} \right\}\)
i) Tam thức \(4{x^2} + 4x + 7\) có \(a = 4 > 0\) và \(\Delta = - 96 < 0\)
Suy ra không có giá trị nào của x để \(4{x^2} + 4x + 7 \le 0\)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm
Bước 1: Tìm nghiệm của tam thức bậc hai có trong bất đẳng thức
Bước 2: Xác định dấu của tam thức
Lời giải chi tiết
a) Tam thức \({x^2} - 10x + 24\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = 4;{x_2} = 6\)
Suy ra \({x^2} - 10x + 24 \ge 0\) khi và chỉ khi \(\left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)
b) Tam thức \( - 4{x^2} + 28x - 49\) có \(a = - 4 < 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{7}{2}\)
Suy ra \( - 4{x^2} + 28x - 49 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\)
c) Tam thức \({x^2} - 5x + 1\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{2};{x_2} = \frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\)
Suy ra \({x^2} - 5x + 1 > 0\) khi và chỉ khi \(\left( { - \infty ;\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty } \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty } \right)\)
d) Tam thức \(9{x^2} - 24x + 16\) có \(a = 9 > 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{4}{3}\)
Do đó \(9{x^2} - 24x + 16 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra \(9{x^2} - 24x + 16 \le 0\) có nghiệm khi \(9{x^2} - 24x + 16 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{ {\frac{4}{3}} \right\}\)
e) Tam thức \(15{x^2} - x - 2\) có \(a = 15 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = - \frac{1}{3};{x_2} = \frac{2}{5}\)
Suy ra \(15{x^2} - x - 2 < 0\) khi và chỉ khi \(\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\)
g) Tam thức \( - {x^2} + 8x - 17\) có \(a = - 1 < 0\) và \(\Delta = - 4 < 0\)
Do đó \( - {x^2} + 8x - 17 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra không có giá trị x thỏa mãn bất phương trình \( - {x^2} + 8x - 17 > 0\)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm
h) Tam thức \( - 25{x^2} + 10x - 1\) có \(a = - 25 < 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{1}{5}\)
Do đó \( - {x^2} + 8x - 17 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Suy ra \( - 25{x^2} + 10x - 1 < 0\) khi và chỉ khi \(x \ne \frac{1}{5}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{5}} \right\}\)
i) Tam thức \(4{x^2} + 4x + 7\) có \(a = 4 > 0\) và \(\Delta = - 96 < 0\)
Suy ra không có giá trị nào của x để \(4{x^2} + 4x + 7 \le 0\)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm