Google
Câu hỏi: Viết điều kiện của mỗi bất phương trình đã cho sau đây rồi cho biết các bất phương trình này có tương đương đương với nhau hay không:
\(\sqrt {(x - 1)(x - 2)} \ge x\)(1) và \(\sqrt {x - 1} .\sqrt {x - 2} \ge x(2)\).
\(\sqrt {(x - 1)(x - 2)} \ge x\)(1) và \(\sqrt {x - 1} .\sqrt {x - 2} \ge x(2)\).
Phương pháp giải
Biểu thức \(\dfrac{1}{{P(x)}}\) xác định khi \(P(x) \ne 0\)
Biểu thức \(\sqrt {P(x)} \) xác định khi \(P(x) \ge 0\)
Lời giải chi tiết
Điều kiện của (1) là \((x - 1)(x - 2) \ge 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x - 2 \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \le 0}\\{x - 2 \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 2}\\{x \le 1}\end{array}} \right.\)
Điều kiện của (2) là \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow x \ge 2\)
Hai bất phương trình đã cho không tương đương với nhau vì có \(x = - 1\)là một nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
Nhận xét: Phép biến đổi đồng nhất\(\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} \)làm mở rộng tập xác định, dẫn tới thay đổi điều kiện của phương trình, do đó có thể làm xuất hiện nghiệm ngoại lai.
Biểu thức \(\dfrac{1}{{P(x)}}\) xác định khi \(P(x) \ne 0\)
Biểu thức \(\sqrt {P(x)} \) xác định khi \(P(x) \ge 0\)
Lời giải chi tiết
Điều kiện của (1) là \((x - 1)(x - 2) \ge 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x - 2 \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \le 0}\\{x - 2 \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 2}\\{x \le 1}\end{array}} \right.\)
Điều kiện của (2) là \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow x \ge 2\)
Hai bất phương trình đã cho không tương đương với nhau vì có \(x = - 1\)là một nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
Nhận xét: Phép biến đổi đồng nhất\(\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} \)làm mở rộng tập xác định, dẫn tới thay đổi điều kiện của phương trình, do đó có thể làm xuất hiện nghiệm ngoại lai.