Google
Câu hỏi: Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào có nghiệm
A. \(\sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 4} < x\)
B. \(\sqrt {4 - x} (\sqrt x + 2)\sqrt {x - 9} < x + 1\)
C. \(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \ge 2\sqrt {{x^6} + 1} \)
D. \(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} < 2\sqrt {{x^6} + 1} \)
A. \(\sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 4} < x\)
B. \(\sqrt {4 - x} (\sqrt x + 2)\sqrt {x - 9} < x + 1\)
C. \(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \ge 2\sqrt {{x^6} + 1} \)
D. \(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} < 2\sqrt {{x^6} + 1} \)
Phương pháp giải
Nhìn qua các đáp án và đưa ra nhận xét
Lời giải chi tiết
Trắc nghiệm:
Ta thấy bất phương trình ở câu c đúng với \(x = 0\).
Vậy chọn đáp án C
Tự luận:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} \) và \(\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \) ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \\ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left({{x^4} - {x^2} + 1} \right)} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {{x^6} + 1} } \\ = 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \ge 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\end{array}\)
Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\).
Nhìn qua các đáp án và đưa ra nhận xét
Lời giải chi tiết
Trắc nghiệm:
Ta thấy bất phương trình ở câu c đúng với \(x = 0\).
Vậy chọn đáp án C
Tự luận:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} \) và \(\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \) ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \\ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left({{x^4} - {x^2} + 1} \right)} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {{x^6} + 1} } \\ = 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \ge 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\end{array}\)
Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\).
Đáp án C.