Google
Câu hỏi: Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:
\((\beta)\): 3x – 2y + 2z + 7 = 0
\((\gamma)\): 5x – 4y + 3z + 1 = 0
\((\beta)\): 3x – 2y + 2z + 7 = 0
\((\gamma)\): 5x – 4y + 3z + 1 = 0
Phương pháp giải
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \beta \right),\left(\gamma \right)\) thì \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left(\beta \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left(\gamma \right)}}} } \right]\).
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng \((\beta)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (3; - 2; 2)\)
Mặt phẳng \((\gamma)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\gamma }} = (5; - 4; 3)\).
Mặt phẳng \((\alpha)\) vuông góc với hai mặt phẳng \((\beta)\) và \((\gamma)\), do đó
\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} \\
\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\gamma }}
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ;\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\)
Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right] = (2; 1; - 2)\)
Mặt khác \((\alpha)\) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) .
Vậy phương trình của \((\alpha)\) là: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay 2x + y – 2z – 15 = 0.
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \beta \right),\left(\gamma \right)\) thì \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left(\beta \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left(\gamma \right)}}} } \right]\).
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng \((\beta)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (3; - 2; 2)\)
Mặt phẳng \((\gamma)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\gamma }} = (5; - 4; 3)\).
Mặt phẳng \((\alpha)\) vuông góc với hai mặt phẳng \((\beta)\) và \((\gamma)\), do đó
\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} \\
\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\gamma }}
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ;\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\)
Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right] = (2; 1; - 2)\)
Mặt khác \((\alpha)\) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) .
Vậy phương trình của \((\alpha)\) là: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay 2x + y – 2z – 15 = 0.