Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song:
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song:
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Phương pháp giải
a) Chọn hệ trục tọa độ, viết phương trình mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right),\left({BC'D} \right)\) và suy ra điều kiện song song.
b) Sử dụng tính chất \(d\left( {\left( P \right),\left(Q \right)} \right) = d\left({M,\left( Q \right)} \right)\) và công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:
A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0) , D(0; 1; 0)
B’(1; 0 ; 1) , D’(0; 1; 1) , C’ (1; 1; 1)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} = \left( {1; 0; 1} \right),\overrightarrow {AD'} = \left({0; 1; 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left({ - 1; - 1; 1} \right)\end{array}\)
Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) đi qua \(A\left( {0; 0; 0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( { - 1; - 1; 1} \right)\) làm VTPT nên
\(\left( {AB'D'} \right):\)\(- \left( {x - 0} \right) - \left({y - 0} \right) + \left({z - 0} \right) = 0\) hay \(x + y - z = 0\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BC'} = \left( {0; 1; 1} \right),\overrightarrow {DC'} = \left({1; 0; 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left({1; 1; - 1} \right)\end{array}\)
Mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) đi qua \(B\left( {1; 0; 0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left( {1; 1; - 1} \right)\) làm VTPT nên
\(\left( {BC'D} \right):\)\(\left( {x - 1} \right) + \left({y - 0} \right) - \left({z - 0} \right) = 0\) hay \(x + y - z - 1 = 0\)
Ta có: \(\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}\).
Vậy (AB’D’) // (BC’D)
b) \(d((AB'D'),(BC'D))\)\(= d(A,(BC'D)) = \dfrac{{\left| {0 + 0 - 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} \) \(= \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
a) Chọn hệ trục tọa độ, viết phương trình mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right),\left({BC'D} \right)\) và suy ra điều kiện song song.
b) Sử dụng tính chất \(d\left( {\left( P \right),\left(Q \right)} \right) = d\left({M,\left( Q \right)} \right)\) và công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:
A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0) , D(0; 1; 0)
B’(1; 0 ; 1) , D’(0; 1; 1) , C’ (1; 1; 1)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} = \left( {1; 0; 1} \right),\overrightarrow {AD'} = \left({0; 1; 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left({ - 1; - 1; 1} \right)\end{array}\)
Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) đi qua \(A\left( {0; 0; 0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( { - 1; - 1; 1} \right)\) làm VTPT nên
\(\left( {AB'D'} \right):\)\(- \left( {x - 0} \right) - \left({y - 0} \right) + \left({z - 0} \right) = 0\) hay \(x + y - z = 0\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BC'} = \left( {0; 1; 1} \right),\overrightarrow {DC'} = \left({1; 0; 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left({1; 1; - 1} \right)\end{array}\)
Mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) đi qua \(B\left( {1; 0; 0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left( {1; 1; - 1} \right)\) làm VTPT nên
\(\left( {BC'D} \right):\)\(\left( {x - 1} \right) + \left({y - 0} \right) - \left({z - 0} \right) = 0\) hay \(x + y - z - 1 = 0\)
Ta có: \(\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}\).
Vậy (AB’D’) // (BC’D)
b) \(d((AB'D'),(BC'D))\)\(= d(A,(BC'D)) = \dfrac{{\left| {0 + 0 - 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} \) \(= \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)