Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=1, BC=2, \text{A{A}'=3}$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}'$ và $B{C}'$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$.
B. $\dfrac{6}{7}$.
C. $\dfrac{7}{6}$.
D. $\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$.
B. $\dfrac{6}{7}$.
C. $\dfrac{7}{6}$.
D. $\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$.
Cách 1:
Ta có
$\begin{aligned}
& BC'//AD'\Rightarrow d\left( AB',BC' \right)=d\left( BC',\left( AB'D' \right) \right)=d\left( C';\left( AB'D' \right) \right) \\
& =\dfrac{C'O'}{A'O'}d\left( A',\left( AB'D' \right) \right)=d\left( A',\left( AB'D' \right) \right) \\
\end{aligned}$.
Lại có $A'B',A'A,A'D$ đôi một vuông góc với nhau tại $A',d\left( A',\left( AB'D' \right) \right)=h$ thì $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A'B{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{A'D{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{AA{{'}^{2}}}=\dfrac{1}{{{1}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{6}{7}$.
Cách 2: Sử dụng tọa độ hóa
Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho $A\left( 0;0;0 \right)$, $B\left( 1;0;0 \right)$, $D\left( 0;2;0 \right)$ (do $BC=2\Rightarrow AD=2$ ), ${A}'\left( 0;0;3 \right)$.
Ta có: ${B}'\left( 1;0;3 \right)$ ; ${C}'\left( 1;2;3 \right)$ ; $\overrightarrow{B{C}'}\left( 0;2;3 \right); \overrightarrow{BD}\left( -1;2;0 \right)$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}'$ và $B{C}'$ là khoảng cách giữa đường thẳng $A{B}'$ và $\left( B{C}'D \right)$ chứa $B{C}'$ và song song với $A{B}'$. Ta có ${{d}_{\left( A{B}';B{C}' \right)}}={{d}_{\left( A{B}';\left( B{C}'D \right) \right)}}={{d}_{\left( A;\left( B{C}'D \right) \right)}}$.
Mặt phẳng $\left( B{C}'D \right)$ đi qua $B\left( 1;0;0 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{B{C}'};\overrightarrow{BD} \right]=\left( -6;-3;2 \right)$ làm VTPT có phương trình là $-6x-3y+2z+6=0$.
${{d}_{\left( A{B}';B{C}' \right)}}={{d}_{\left( A{B}';\left( B{C}'D \right) \right)}}={{d}_{\left( A;\left( B{C}'D \right) \right)}}=\dfrac{\left| -6.0-3.0+2.0+6 \right|}{\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{6}{7}$.
$\begin{aligned}
& BC'//AD'\Rightarrow d\left( AB',BC' \right)=d\left( BC',\left( AB'D' \right) \right)=d\left( C';\left( AB'D' \right) \right) \\
& =\dfrac{C'O'}{A'O'}d\left( A',\left( AB'D' \right) \right)=d\left( A',\left( AB'D' \right) \right) \\
\end{aligned}$.
Lại có $A'B',A'A,A'D$ đôi một vuông góc với nhau tại $A',d\left( A',\left( AB'D' \right) \right)=h$ thì $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A'B{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{A'D{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{AA{{'}^{2}}}=\dfrac{1}{{{1}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{6}{7}$.
Cách 2: Sử dụng tọa độ hóa
Ta có: ${B}'\left( 1;0;3 \right)$ ; ${C}'\left( 1;2;3 \right)$ ; $\overrightarrow{B{C}'}\left( 0;2;3 \right); \overrightarrow{BD}\left( -1;2;0 \right)$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}'$ và $B{C}'$ là khoảng cách giữa đường thẳng $A{B}'$ và $\left( B{C}'D \right)$ chứa $B{C}'$ và song song với $A{B}'$. Ta có ${{d}_{\left( A{B}';B{C}' \right)}}={{d}_{\left( A{B}';\left( B{C}'D \right) \right)}}={{d}_{\left( A;\left( B{C}'D \right) \right)}}$.
Mặt phẳng $\left( B{C}'D \right)$ đi qua $B\left( 1;0;0 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{B{C}'};\overrightarrow{BD} \right]=\left( -6;-3;2 \right)$ làm VTPT có phương trình là $-6x-3y+2z+6=0$.
${{d}_{\left( A{B}';B{C}' \right)}}={{d}_{\left( A{B}';\left( B{C}'D \right) \right)}}={{d}_{\left( A;\left( B{C}'D \right) \right)}}=\dfrac{\left| -6.0-3.0+2.0+6 \right|}{\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{6}{7}$.
Đáp án B.