Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=1, BC=2, AA'=2$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD'$ và $DC'$ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
Cách 1:
Ta có
$D{C}'//A{B}'\Rightarrow d\left( D{C}';A{D}' \right)=d\left( D{C}';\left( A{B}'{D}' \right) \right)=d\left( {C}';\left( A{B}'{D}' \right) \right)=d\left( {A}',\left( A{B}'{D}' \right) \right)=h$.
Lại có $A'B',A'A,A'D$ đôi một vuông góc với nhau tại ${A}'$ thì $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A'B{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{A'D{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{AA{{'}^{2}}}=\dfrac{1}{{{1}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Cách 2: Sử dụng tọa độ hóa
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $\overrightarrow{AB}\equiv \overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{AD}\equiv \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{AA'}\equiv \overrightarrow{Oz}$.
Suy ra $A\left( 0;0;0 \right), D'\left( 0;2;2 \right), C'\left( 1;2;2 \right), D\left( 0;2;0 \right)$.
Do $AD'$ đi qua $A\left( 0;0;0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 0;1;1 \right)$ làm vec tơ chỉ phương.
Do $DC'$ đi qua $D\left( 0;2;0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u'}=\left( 1;0;2 \right)$ làm vec tơ chỉ phương.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD'$ và $DC'$ bằng:
${{d}_{\left( AD';DC' \right)}}=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{u}; \overrightarrow{u'} \right].\overrightarrow{AD} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u}; \overrightarrow{u'} \right] \right|}=\dfrac{2}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Trong đó: $\left[ \overrightarrow{u}; \overrightarrow{u'} \right]=\left( 2;1;-1 \right)$ ; $\overrightarrow{AD}=\left( 0;2;0 \right)$
Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-6z+14=0$ và $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ.
$D{C}'//A{B}'\Rightarrow d\left( D{C}';A{D}' \right)=d\left( D{C}';\left( A{B}'{D}' \right) \right)=d\left( {C}';\left( A{B}'{D}' \right) \right)=d\left( {A}',\left( A{B}'{D}' \right) \right)=h$.
Lại có $A'B',A'A,A'D$ đôi một vuông góc với nhau tại ${A}'$ thì $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A'B{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{A'D{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{AA{{'}^{2}}}=\dfrac{1}{{{1}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Cách 2: Sử dụng tọa độ hóa
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $\overrightarrow{AB}\equiv \overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{AD}\equiv \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{AA'}\equiv \overrightarrow{Oz}$.
Suy ra $A\left( 0;0;0 \right), D'\left( 0;2;2 \right), C'\left( 1;2;2 \right), D\left( 0;2;0 \right)$.
Do $AD'$ đi qua $A\left( 0;0;0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 0;1;1 \right)$ làm vec tơ chỉ phương.
Do $DC'$ đi qua $D\left( 0;2;0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u'}=\left( 1;0;2 \right)$ làm vec tơ chỉ phương.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD'$ và $DC'$ bằng:
${{d}_{\left( AD';DC' \right)}}=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{u}; \overrightarrow{u'} \right].\overrightarrow{AD} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u}; \overrightarrow{u'} \right] \right|}=\dfrac{2}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Trong đó: $\left[ \overrightarrow{u}; \overrightarrow{u'} \right]=\left( 2;1;-1 \right)$ ; $\overrightarrow{AD}=\left( 0;2;0 \right)$
Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-6z+14=0$ và $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ.
Đáp án A.