Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'B'C'{D}'$ có $AB=BC=a$ và $C{C}'=2a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $A{A}'$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${B}'{D}'$ và $MN$ bằng
A. $\dfrac{5a\sqrt{17}}{17}$.
B. $\dfrac{5a\sqrt{17}}{68}$.
C. $\dfrac{3a\sqrt{17}}{68}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{17}}{76}$.
A. $\dfrac{5a\sqrt{17}}{17}$.
B. $\dfrac{5a\sqrt{17}}{68}$.
C. $\dfrac{3a\sqrt{17}}{68}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{17}}{76}$.
Cách 1. Gọi $P$ là trung điểm $CD$, $I=MP\cap AD$, $J=IN\cap D{D}'$, $K=AC\cap MP$.
Ta có $MP\text{//}BD\Rightarrow MP\text{//}{B}'{D}'\Rightarrow d\left( {B}'{D}';MN \right)=d\left[ {B}'{D}';\left( MNP \right) \right]=d\left[ {D}';\left( MNP \right) \right]$.
Lại có $d\left[ {D}';\left( MNP \right) \right]=\dfrac{{D}'J}{DJ}d\left[ D;\left( MNP \right) \right]=5$.
Mặt khác $d\left[ D;\left( MNP \right) \right]=\dfrac{DI}{AI}d\left[ A;\left( MNP \right) \right]=\dfrac{1}{3}d\left[ A;\left( MNP \right) \right]$.
Dễ thấy $\left\{ \begin{aligned}
& \left( NAK \right)\bot \left( MNP \right) \\
& \left( NAK \right)\cap \left( MNP \right)=AK \\
& AH\bot NK\left( H\in NK \right)\text{ trong }\left( NAK \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( MNP \right)\Rightarrow d\left[ A;\left( MNP \right) \right]=AH$.
Suy ra $d\left( MN;{B}'{D}' \right)=\dfrac{5}{3}d\left[ A;\left( MNP \right) \right]=\dfrac{5}{3}AH$ với $AN=\dfrac{A{A}'}{2}=a$ ; $AK=\dfrac{3}{4}\sqrt{2}AB=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$.
Vậy $d\left( MN;{B}'{D}' \right)=\dfrac{5}{3}AH=\dfrac{5}{3}.\dfrac{AN.AK}{\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{5}{3}.\dfrac{\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}.a}{\sqrt{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{5a\sqrt{17}}{17}$.
Cách 2. Đặt các trục $Ox$, $Oy$ và $Oz$ vào hình như sau
Chọn $a=2$, ta có $M\left( 1;2;0 \right)$, $N\left( 0;0;2 \right)$, ${B}'\left( 0;2;4 \right)$ và ${D}'\left( 2;0;4 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( -1;-2;2 \right)$, $\overrightarrow{{B}'{D}'}=\left( 2;-2;0 \right)$ và $\overrightarrow{M{B}'}=\left( -1;0;4 \right)$ $\Rightarrow $ $\left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{{B}'{D}'} \right]=\left( 4;4;6 \right)$.
Khi đó $d\left( MN;{B}'{D}' \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{{B}'{D}'} \right].\overrightarrow{M{B}'} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{{B}'{D}'} \right] \right|}=\dfrac{\left| \left( -1 \right).4+0.4+4.6 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\dfrac{10\sqrt{17}}{17}=\dfrac{5a\sqrt{17}}{17}$.
Lại có $d\left[ {D}';\left( MNP \right) \right]=\dfrac{{D}'J}{DJ}d\left[ D;\left( MNP \right) \right]=5$.
Mặt khác $d\left[ D;\left( MNP \right) \right]=\dfrac{DI}{AI}d\left[ A;\left( MNP \right) \right]=\dfrac{1}{3}d\left[ A;\left( MNP \right) \right]$.
Dễ thấy $\left\{ \begin{aligned}
& \left( NAK \right)\bot \left( MNP \right) \\
& \left( NAK \right)\cap \left( MNP \right)=AK \\
& AH\bot NK\left( H\in NK \right)\text{ trong }\left( NAK \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( MNP \right)\Rightarrow d\left[ A;\left( MNP \right) \right]=AH$.
Suy ra $d\left( MN;{B}'{D}' \right)=\dfrac{5}{3}d\left[ A;\left( MNP \right) \right]=\dfrac{5}{3}AH$ với $AN=\dfrac{A{A}'}{2}=a$ ; $AK=\dfrac{3}{4}\sqrt{2}AB=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$.
Vậy $d\left( MN;{B}'{D}' \right)=\dfrac{5}{3}AH=\dfrac{5}{3}.\dfrac{AN.AK}{\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{5}{3}.\dfrac{\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}.a}{\sqrt{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{5a\sqrt{17}}{17}$.
Cách 2. Đặt các trục $Ox$, $Oy$ và $Oz$ vào hình như sau
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( -1;-2;2 \right)$, $\overrightarrow{{B}'{D}'}=\left( 2;-2;0 \right)$ và $\overrightarrow{M{B}'}=\left( -1;0;4 \right)$ $\Rightarrow $ $\left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{{B}'{D}'} \right]=\left( 4;4;6 \right)$.
Khi đó $d\left( MN;{B}'{D}' \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{{B}'{D}'} \right].\overrightarrow{M{B}'} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{MN};\overrightarrow{{B}'{D}'} \right] \right|}=\dfrac{\left| \left( -1 \right).4+0.4+4.6 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\dfrac{10\sqrt{17}}{17}=\dfrac{5a\sqrt{17}}{17}$.
Đáp án A.