Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
\((\alpha)\): 3x – y + 4z + 2 = 0
\((\beta)\): 3x – y + 4z + 8 = 0
\((\alpha)\): 3x – y + 4z + 2 = 0
\((\beta)\): 3x – y + 4z + 8 = 0
Phương pháp giải
Gọi tọa độ điểm \(M\left( {x; y; z} \right)\), sử dụng công thức tính khoảng cách suy ra mối quan hệ \(x, y, z\).
Từ đó suy ra mặt phẳng cần tìm.
Lời giải chi tiết
Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\)
\(\Leftrightarrow d(M,(\alpha)) = d(M,(\beta))\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{|3x - y + 4z + 2|}}{{\sqrt {9 + 1 + 16} }}\) \(= \dfrac{{|3x - y + 4z + 8|}}{{\sqrt {9 + 1 + 16} }}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left| {3x - y + 4z + 2} \right| = \left| {3x - y + 4z + 8} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - y + 4z + 2 = 3x - y + 4z + 8\\
3x - y + 4z + 2 = - \left({3x - y + 4z + 8} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2 = 8\left({vo li} \right)\\
6x - 2y + 8z + 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 3x - y + 4z + 5 = 0
\end{array}\)
Vậy tập hợp điểm M là mặt phẳng \(3x - y + 4z + 5 = 0\).
Gọi tọa độ điểm \(M\left( {x; y; z} \right)\), sử dụng công thức tính khoảng cách suy ra mối quan hệ \(x, y, z\).
Từ đó suy ra mặt phẳng cần tìm.
Lời giải chi tiết
Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\)
\(\Leftrightarrow d(M,(\alpha)) = d(M,(\beta))\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{|3x - y + 4z + 2|}}{{\sqrt {9 + 1 + 16} }}\) \(= \dfrac{{|3x - y + 4z + 8|}}{{\sqrt {9 + 1 + 16} }}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left| {3x - y + 4z + 2} \right| = \left| {3x - y + 4z + 8} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - y + 4z + 2 = 3x - y + 4z + 8\\
3x - y + 4z + 2 = - \left({3x - y + 4z + 8} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2 = 8\left({vo li} \right)\\
6x - 2y + 8z + 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 3x - y + 4z + 5 = 0
\end{array}\)
Vậy tập hợp điểm M là mặt phẳng \(3x - y + 4z + 5 = 0\).