Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$ và mặt phẳng $(P): x+y-z-6=$ 0 . Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua đường thẳng $d$ và tạo với $(P)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó dạng phương trình tổng quát của $(\alpha)$ là $a x+b y+z+d=0$. Khi đó giá trị của $a+b+d$ bằng:
A. -7 .
B. 5 .
C. -3 .
D. 6 .
A. -7 .
B. 5 .
C. -3 .
D. 6 .
VTPT của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=(a ; b ; 1)$.
Do đường thẳng $(d)$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ suy ra $a+2 b-2=0$ Góc tạo bởi $(\alpha)$ và $(P)$ lớn nhất $\Leftrightarrow\left|\cos \left(\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\right)\right|=\dfrac{|a+b-1|}{\sqrt{3\left(a^2+b^2+1\right)}}$ đạt GTNN. Từ (1) suy ra $a=2-2 b$ thế vào: $\left|\cos \left(\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\right)\right|=\dfrac{|1-b|}{\sqrt{3\left(5 b^2-8 b+5\right)}}$.
$$
\Leftrightarrow\left|\cos \left(\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\right)\right|=\sqrt{\dfrac{(1-b)^2}{3\left(5 b^2-8 b+5\right)}}=\sqrt{\dfrac{1-2 b+b^2}{15 b^2-24 b+15}}
$
$
\Rightarrow \min \left|\cos \left(\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\right)\right|=\dfrac{\sqrt{6}}{9} \Leftrightarrow b=-1 .
$
Suy ra mặt phẳng $(\alpha): 4 x-y+z+d=0$. Vì $M(2 ; 1 ;-1) \in(d) \Rightarrow d=-6$.
$
\Rightarrow a+b+d=-3
$
Do đường thẳng $(d)$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ suy ra $a+2 b-2=0$ Góc tạo bởi $(\alpha)$ và $(P)$ lớn nhất $\Leftrightarrow\left|\cos \left(\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\right)\right|=\dfrac{|a+b-1|}{\sqrt{3\left(a^2+b^2+1\right)}}$ đạt GTNN. Từ (1) suy ra $a=2-2 b$ thế vào: $\left|\cos \left(\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\right)\right|=\dfrac{|1-b|}{\sqrt{3\left(5 b^2-8 b+5\right)}}$.
$$
\Leftrightarrow\left|\cos \left(\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\right)\right|=\sqrt{\dfrac{(1-b)^2}{3\left(5 b^2-8 b+5\right)}}=\sqrt{\dfrac{1-2 b+b^2}{15 b^2-24 b+15}}
$
$
\Rightarrow \min \left|\cos \left(\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\right)\right|=\dfrac{\sqrt{6}}{9} \Leftrightarrow b=-1 .
$
Suy ra mặt phẳng $(\alpha): 4 x-y+z+d=0$. Vì $M(2 ; 1 ;-1) \in(d) \Rightarrow d=-6$.
$
\Rightarrow a+b+d=-3
$
Đáp án C.
