Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$ cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}$, điểm $A(3 ;-1 ; 1)$ và mặt phẳng $(P): x+y-5 z+3=0$. Đường thẳng đi qua điểm $A$ cắt đường thẳng $d$ tại điểm có tọa độ nguyên đồng thời tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc $\varphi$ thỏa $\cos \varphi=\sqrt{\dfrac{122}{123}}$ có phương trình là
A. $\Delta: \dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-5}{1}=\dfrac{z-2}{-5}$.
B. $\Delta: \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{x+1}{1}$.
C. $\Delta: \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y+1}{6}=\dfrac{z+1}{1}$.
D. $\Delta: \dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y-5}{6}=\dfrac{z-2}{1}$.
A. $\Delta: \dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-5}{1}=\dfrac{z-2}{-5}$.
B. $\Delta: \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{x+1}{1}$.
C. $\Delta: \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y+1}{6}=\dfrac{z+1}{1}$.
D. $\Delta: \dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y-5}{6}=\dfrac{z-2}{1}$.
Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm và $M=d \cap \Delta$.
Ta có $M \in d$ suy ra $M(1+2 t ; 1+2 t ; t)$ do đó $\overrightarrow{A M}=(2 t-2 ; 2 t+2 ; t-1) \neq \overrightarrow{0}, \forall t \in \mathbb{R}$ là vec tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.
Mặt phẳng $(P)$ có một vec-tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1 ; 1 ;-5)$.
Ta có đường thẳng $d$ tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc $\varphi$ thỏa $\cos \varphi=\sqrt{\dfrac{122}{123}}$ nên ta có $\sin \varphi=\dfrac{1}{\sqrt{123}}$ hay $\dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot|\vec{n}|}=\dfrac{1}{\sqrt{123}} \Leftrightarrow \dfrac{|2 t-2+2 t+2-5 t+5|}{\sqrt{27} \sqrt{(2 t-2)^2+(2 t+2)^2+(t-1)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{123}}$
$\Leftrightarrow 41(t-5)^2=9\left[(2 t-2)^2+(2 t+2)^2+(t-1)^2\right] \Leftrightarrow 40 t^2+392 t-944=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=2 \\ t=-\dfrac{59}{5}\end{array}\right.$
Với $t=2$ ta có $M(5 ; 5 ; 2)$ và $\overrightarrow{A M}=(2 ; 6 ; 1)$ lúc đó $\Delta: \dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y-5}{6}=\dfrac{z-2}{1}$.
Với $t=-\dfrac{59}{5}$ ta có $M\left(-\dfrac{113}{5} ;-\dfrac{113}{5} ;-\dfrac{59}{5}\right)$ điểm này không có tọa độ nguyên nên loại.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $\Delta: \dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y-5}{6}=\dfrac{z-2}{1}$.
Ta có $M \in d$ suy ra $M(1+2 t ; 1+2 t ; t)$ do đó $\overrightarrow{A M}=(2 t-2 ; 2 t+2 ; t-1) \neq \overrightarrow{0}, \forall t \in \mathbb{R}$ là vec tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.
Mặt phẳng $(P)$ có một vec-tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1 ; 1 ;-5)$.
Ta có đường thẳng $d$ tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc $\varphi$ thỏa $\cos \varphi=\sqrt{\dfrac{122}{123}}$ nên ta có $\sin \varphi=\dfrac{1}{\sqrt{123}}$ hay $\dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot|\vec{n}|}=\dfrac{1}{\sqrt{123}} \Leftrightarrow \dfrac{|2 t-2+2 t+2-5 t+5|}{\sqrt{27} \sqrt{(2 t-2)^2+(2 t+2)^2+(t-1)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{123}}$
$\Leftrightarrow 41(t-5)^2=9\left[(2 t-2)^2+(2 t+2)^2+(t-1)^2\right] \Leftrightarrow 40 t^2+392 t-944=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=2 \\ t=-\dfrac{59}{5}\end{array}\right.$
Với $t=2$ ta có $M(5 ; 5 ; 2)$ và $\overrightarrow{A M}=(2 ; 6 ; 1)$ lúc đó $\Delta: \dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y-5}{6}=\dfrac{z-2}{1}$.
Với $t=-\dfrac{59}{5}$ ta có $M\left(-\dfrac{113}{5} ;-\dfrac{113}{5} ;-\dfrac{59}{5}\right)$ điểm này không có tọa độ nguyên nên loại.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $\Delta: \dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y-5}{6}=\dfrac{z-2}{1}$.
Đáp án D.