Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{-2}$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và song song với trục $O x$. Khi đó, mặt phẳng $(P)$ có phương trình là
A. $2 y-2 z-5=0$.
B. $y+z-4=0$.
C. $y+z-5=0$.
D. $y+z=0$.
A. $2 y-2 z-5=0$.
B. $y+z-4=0$.
C. $y+z-5=0$.
D. $y+z=0$.
Xét đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{-2}$ đi qua điểm $M(1 ; 2 ; 3)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec{u}_1(1 ; 2 ;-2)$.
Xét trục $O x$ có vectơ chỉ phương là: $\vec{u}_2(1 ; 0 ; 0)$ và đi qua điểm $O(0 ; 0 ; 0)$
Khi đó: $\left[\vec{u}_1, \vec{u}_2\right]=(0 ;-2 ;-2)$
Gọi $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ta có:
$\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \perp \vec{u}_1 \\ \vec{n} \perp \vec{u}_2\end{array} \Rightarrow \vec{n}\right.$ cùng phương với $\left[\vec{u}_1, \vec{u}_2\right]$
Chọn $\vec{n}=(0 ; 1 ; 1)$
Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1 ; 2 ; 3)$ và nhận vectơ $\vec{n}=(0 ; 1 ; 1)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
$
\begin{aligned}
& 0 \cdot(x-1)+1 \cdot(y-2)+1 \cdot(z-3)=0 \\
& \Leftrightarrow y+z-5=0
\end{aligned}
$
Thay toạ độ điểm $O$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ thấy không thoả mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $y+z-5=0$.
Xét trục $O x$ có vectơ chỉ phương là: $\vec{u}_2(1 ; 0 ; 0)$ và đi qua điểm $O(0 ; 0 ; 0)$
Khi đó: $\left[\vec{u}_1, \vec{u}_2\right]=(0 ;-2 ;-2)$
Gọi $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ta có:
$\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \perp \vec{u}_1 \\ \vec{n} \perp \vec{u}_2\end{array} \Rightarrow \vec{n}\right.$ cùng phương với $\left[\vec{u}_1, \vec{u}_2\right]$
Chọn $\vec{n}=(0 ; 1 ; 1)$
Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1 ; 2 ; 3)$ và nhận vectơ $\vec{n}=(0 ; 1 ; 1)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
$
\begin{aligned}
& 0 \cdot(x-1)+1 \cdot(y-2)+1 \cdot(z-3)=0 \\
& \Leftrightarrow y+z-5=0
\end{aligned}
$
Thay toạ độ điểm $O$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ thấy không thoả mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $y+z-5=0$.
Đáp án C.