Bài 2 trang 210 SBT đại số 10

Câu hỏi: Cho phương trình bậc hai
\(a{x^2} - 2(a + 1)x + {(a + 1)^2}a = 0\) (E)
Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm (nếu có) của phương trình trên.

Câu a​

Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm?
Lời giải chi tiết:
+) TH1: a=0 phương trình trở thành \(-2x=0 \Leftrightarrow x=0\) nên phương trình có nghiệm.
+) TH2: \(a\ne 0\).
Phương trình có nghiệm
\(\Leftrightarrow \Delta ' = {(a + 1)^2} - {(a + 1)^2}{a^2} \) \(= {(a + 1)^2}(1 - {a^2}) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow - 1 \le a \le 1, a \ne 0\).
Vậy với \(- 1 \le a \le 1\) thì phương trình có nghiệm.

Câu b​

Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E).
Lời giải chi tiết:
Với \(-1\le a\le 1, a\ne 0\) ta có:
\(P = {(a + 1)^2}\)
\(P = 0 \Leftrightarrow a = - 1\), khi đó \({x_1} = {x_2} = 0\).
\(P > 0,\forall a \ne - 1\), khi đó \({x_1},{x_2}\) cùng dấu.
Xét \(a\ne -1, a\ne 0\) ta có: \(S = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\)
+) \(S > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 0\\a < - 1\end{array} \right.\)
Kết hợp điều kiện \(- 1 \le a \le 1,\) \(a \ne 0, a \ne - 1\) ta được \(S < 0 \Leftrightarrow 0 < a \le 1\)
Khi đó hai nghiệm cùng dương.
+) \(S < 0 \Leftrightarrow - 1 < a < 0\), khi đó hai nghiệm cùng âm.
Vậy:
Với \(0 < a \le 1\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều dương;
Với \(- 1 <a < 0\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều âm;

Câu c​

Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.
Lời giải chi tiết:
Từ \(S = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\) suy ra \(a = \dfrac{2}{{S - 2}}\).
Do đó: \(P = {\left( {\dfrac{2}{{S - 2}} + 1} \right)^2} = \dfrac{{{S^2}}}{{{{(S - 2)}^2}}}\) \(\Leftrightarrow {(S - 2)^2}P - {S^2} = 0\)

Câu d​

Với những giá trị nào của a, các nghiệm \({x_1},{x_2}\) của (E) thỏa mãn hệ thức \({x_1} = 3{x_2}\)? Tìm các nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong mỗi trường hợp đó.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right. \) \(= > 4{x_2} = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\) \( \Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{{a + 1}}{{2a}}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = {(a + 1)^2}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right. \) \(= > 3x_2^2 = {(a + 1)^2}.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 3.{\left({\dfrac{{a + 1}}{{2a}}} \right)^2} = {\left({a + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{3{{\left({a + 1} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} - {\left({a + 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\left({a + 1} \right)^2}\left({\dfrac{3}{{4{a^2}}} - 1} \right) = 0\\
\Rightarrow {\left({a + 1} \right)^2}\left({3 - 4{a^2}} \right) = 0
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\a = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)
Với a = - 1 ta có \({x_1} = {x_2} = 0\);
Với \(a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)ta có: \({x_2} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{6};{x_1} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{2}\);
Với \(a = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)ta có: \({x_2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 3 }}{6};{x_1} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 3 }}{2}\);