Google
Câu hỏi: Tính \(\dfrac{1}{{x_1^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}}\), trong đó \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình bậc hai
\(2{x^2} - 3ax - 2 = 0\)
\(2{x^2} - 3ax - 2 = 0\)
Lời giải chi tiết
Ta có \(\Delta = {\left( {3a} \right)^2} - 4.2.\left({ - 2} \right) \) \(= 9{a^2} + 16 > 0,\forall a\) nê phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\).
Khi đó,
\(\dfrac{1}{{x_1^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}} \) \(= \dfrac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3x_2^3}} \) \( = \dfrac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left({x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)}}{{{{\left({{x_1}{x_2}} \right)}^3}}}\) \(= \dfrac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left({{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]}}{{{{\left({{x_1}{x_2}} \right)}^3}}}\)
\(= \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}\left[ {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} - 3.\left({ - 1} \right)} \right]}}{{{{\left({ - 1} \right)}^3}}}\)
\(= - \dfrac{{3a}}{2}\left[ {\dfrac{{9{a^2}}}{4} + 3} \right] \) \(= - \dfrac{{27{a^3} + 36a}}{8}\)
Ta có \(\Delta = {\left( {3a} \right)^2} - 4.2.\left({ - 2} \right) \) \(= 9{a^2} + 16 > 0,\forall a\) nê phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\).
Khi đó,
\(\dfrac{1}{{x_1^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}} \) \(= \dfrac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3x_2^3}} \) \( = \dfrac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left({x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)}}{{{{\left({{x_1}{x_2}} \right)}^3}}}\) \(= \dfrac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left({{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]}}{{{{\left({{x_1}{x_2}} \right)}^3}}}\)
\(= \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}\left[ {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} - 3.\left({ - 1} \right)} \right]}}{{{{\left({ - 1} \right)}^3}}}\)
\(= - \dfrac{{3a}}{2}\left[ {\dfrac{{9{a^2}}}{4} + 3} \right] \) \(= - \dfrac{{27{a^3} + 36a}}{8}\)