Bài 1 trang 210 SBT đại số 10

Câu hỏi: Xác định parabol \(y = a{x^2} + bx + c\)trong mỗi trường hợp sau

Câu a​

Parabol nhận trục tung làm trục đối xứng và cắt đường thẳng \(y = \dfrac{x}{2}\)tại các điểm có hoành độ là -1 và \(\dfrac{3}{2}\).
Lời giải chi tiết:
Vì đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng cho nên hàm số\(f(x) = a{x^2} + bx + c\) là hàm số chẵn, do đó
\(f(x) = a{x^2} + bx + c \) \(= a{x^2} - bx + c = f( - x),\forall x\)
Suy ra b = 0. Ta còn phải xác định a và c.
Vì parabol cắt đường thẳng \(y = \dfrac{x}{2}\)tại các điểm có hoành độ -1 và \(\dfrac{3}{2}\)nên nó đi qua các điểm
\(( - 1; - \dfrac{1}{2})\) và \((\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{4})\).
Ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = - \dfrac{1}{2}\\\dfrac{{9a}}{4} + c = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình trên ta được \(a = 1, c = - \dfrac{3}{2}\).
Parabol phải tìm là \(y = x{}^2 - \dfrac{3}{2}\),

Câu b​

Parabol đi qua gốc tọa độ và có đỉnh là điểm (1; 2).
Lời giải chi tiết:
Vì parabol đi qua (0; 0) nên y(0) = c = 0.
Do parabol có đỉnh \(\left( {1; 2} \right)\) nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}
- \dfrac{b}{{2a}} = 1\\
- \dfrac{\Delta }{{4a}} = 2
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 2a\\
{b^2} + 8a = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 2a\\
4{a^2} + 8a = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 2a\\
\left[ \begin{array}{l}
a = 0\left({loai} \right)\\
a = - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = 4
\end{array} \right.\)
Parabol phải tìm là \(y = - 2{x^2} + 4x\).

Câu c​

Parabol đi qua hai điểm A(-1; 2), B(2; 3) và có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.
Lời giải chi tiết:
Trục đối xứng \(x = 1\) \(\Rightarrow - \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow b = - 2a\)
Parabol đi qua các điểm \(A\left( { - 1; 2} \right), B\left({2; 3} \right)\)
\(\Rightarrow \) tọa độ các điểm A, B thỏa mãn phương trình parabol
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = a - b + c\\3 = 4a + 2b + c\end{array} \right.\)
Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}b = - 2a\\2 = a - b + c\\3 = 4a + 2b + c\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{2}{3}\\c = 3\end{array} \right.\)
Parabol cần tìm là \(y = - \dfrac{1}{3}{x^2} + \dfrac{2}{3}x + 3\).