Bài 5 trang 210 SBT đại số 10

Câu hỏi: Giải các hệ phương trình sau

Câu a​

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} + xy = 7;\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} + xy = 7\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế hai phương trình ta được:
\({x^2} + {y^2} + x + y + 2xy = 12\) \(\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + \left({x + y} \right) - 12 = 0\)
Đặt u = x + y ta được \({u^2} + u - 12 = 0\).
Giải ra ta được \({u_1} = 3,{u_2} = - 4\)
Với u = 3 ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\xy = 2\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\x\left( {3 - x} \right) = 2\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1, y = 2\\x = 2, y = 1\end{array} \right.\)
Với \(u = - 4\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 4\\xy = 9\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 4 - x\\x\left( { - 4 - x} \right) = 9\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 4 - x\\{x^2} + 4x + 9 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)
Đáp số: (1; 2) và (2; 1).

Câu b​

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - xy = 13\\x + y - \sqrt {xy} = 3.\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Hệ phương trình
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({x + y} \right)^2} - 3xy = 13\\
x + y - \sqrt {xy} = 3
\end{array} \right.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + y\\v = \sqrt {xy} \end{array} \right.(v \ge 0)\) ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}{u^2} - 3{v^2} = 13\\u - v = 3\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = u - 3\\
{u^2} - 3{\left({u - 3} \right)^2} = 13
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = u - 3\\
- 2{u^2} + 18u - 40 = 0
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v =u- 3\\{u^2} - 9u + 20 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = u - 3\\
\left[ \begin{array}{l}
u = 5\\
u = 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 5, v = 2\\
u = 4, v = 1
\end{array} \right.\)
TH1: \(u = 5, v = 2\) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\\sqrt {xy} = 2\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\xy = 4\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 - x\\x\left( {5 - x} \right) = 4\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 - x\\{x^2} - 5x + 4 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 - x\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1, y = 4\\x = 4, y = 1\end{array} \right.\)
TH2: \(u = 4, v = 1\) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\\sqrt {xy} = 1\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\xy = 1\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4 - x\\x\left( {4 - x} \right) = 1\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4 - x\\{x^2} - 4x + 1 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4 - x\\\left[ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 3 \\x = 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 3, y = 2 + \sqrt 3 \\x = 2 + \sqrt 3, y = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là
\((4; 1);(1; 4);\) \((2 - \sqrt 3; 2 + \sqrt 3);(2 + \sqrt 3; 2 - \sqrt 3)\).