Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa đọ Oxy hãy tìm tọa độ các đỉnh M, N của hình vuông AMBN, biết tọa độ hai đỉnh A(1; 1) và B(3; 5).
Lời giải chi tiết
Giả sử M(x; y) là đỉnh của hình vuông AMBN.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {BM} } \right|\\\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BM} \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = B{M^2}\\\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0\end{array} \right.\)
\(A{M^2} = B{M^2}\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2}\) \(= {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left({y - 5} \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1\) \(= {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 10y + 25\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x + 8y = 32\\ \Leftrightarrow x + 2y = 8\\ \Leftrightarrow x = 8 - 2y\end{array}\)
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left({x - 3} \right)\) \(+ \left( {y - 1} \right)\left({y - 5} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 + {y^2} - 6y + 5 = 0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 8 = 0\)
Thay \(x = 8 - 2y\) vào pt ta được:
\({\left( {8 - 2y} \right)^2} + {y^2} - 4\left({8 - 2y} \right) \) \(- 6y + 8 = 0\)
\(\Leftrightarrow 4{y^2} - 32y + 64 + {y^2}\) \(- 32 + 8y - 6y + 8 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{y^2} - 30y + 40 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 4 \Rightarrow x = 0\\y = 2 \Rightarrow x = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy M(4; 2), N(0; 4) hoặc M(0; 4), N(4; 2).
Giả sử M(x; y) là đỉnh của hình vuông AMBN.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {BM} } \right|\\\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BM} \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = B{M^2}\\\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0\end{array} \right.\)
\(A{M^2} = B{M^2}\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2}\) \(= {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left({y - 5} \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1\) \(= {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 10y + 25\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x + 8y = 32\\ \Leftrightarrow x + 2y = 8\\ \Leftrightarrow x = 8 - 2y\end{array}\)
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left({x - 3} \right)\) \(+ \left( {y - 1} \right)\left({y - 5} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 + {y^2} - 6y + 5 = 0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 8 = 0\)
Thay \(x = 8 - 2y\) vào pt ta được:
\({\left( {8 - 2y} \right)^2} + {y^2} - 4\left({8 - 2y} \right) \) \(- 6y + 8 = 0\)
\(\Leftrightarrow 4{y^2} - 32y + 64 + {y^2}\) \(- 32 + 8y - 6y + 8 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{y^2} - 30y + 40 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 4 \Rightarrow x = 0\\y = 2 \Rightarrow x = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy M(4; 2), N(0; 4) hoặc M(0; 4), N(4; 2).