Cho đường thẳng $y=\dfrac{3}{4} x$ và parbol $y=\dfrac{1}{2}...

Phương trình hoành độ giao điểm:
$
\dfrac{3}{4} x=\dfrac{1}{2} x^2+a \Leftrightarrow 2 x^2-3 x+4 a=0(*)
$
Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại hai điềm dương phân biệt. Do đó phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.
(*) có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta=9-32 a>0 \\ S=\dfrac{3}{2}>0 \\ P=2 a>0\end{array} \Leftrightarrow 0<a<\dfrac{9}{32}\right.$.
Khi đó (*) có hai nghiệm dương phân biệt $x_1=\dfrac{3-\sqrt{9-32 a}}{4}, x_2=\dfrac{3+\sqrt{9-32 a}}{4},\left(x_1<x_2\right)$
$
\begin{aligned}
& S_1=S_2 \Leftrightarrow \int_0^{x_1}\left(\dfrac{1}{2} x^2+a-\dfrac{3}{4} x\right) d x=\int_{x_1}^{x_2}\left(\dfrac{3}{4} x-\dfrac{1}{2} x^2-a\right) d x \\
& \left.\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^3}{6}+a x-\dfrac{3 x^2}{8}\right)\right|_0 ^{x_1}=\left.\left(\dfrac{3 x^2}{8}-\dfrac{x^3}{6}-a x\right)\right|_{x_1} ^{x_2} \Leftrightarrow \dfrac{x_1{ }^3}{6}+a x_1-\dfrac{3 x_1{ }^2}{8}=\dfrac{3 x_2{ }^2}{8}-\dfrac{x_2{ }^3}{6}-a x_2-\left(\dfrac{3 x_1{ }^2}{8}-\right. \\
& \left.\dfrac{x_1{ }^3}{6}-a x_1\right) \Leftrightarrow \dfrac{3 x_2{ }^2}{8}-\dfrac{x_2{ }^3}{6}-a x_2=0 \Leftrightarrow-4 x_2{ }^2+9 x_2-24 a=0 \\
& \Leftrightarrow-4\left(\dfrac{3+\sqrt{9-32 a}}{4}\right)^2+9 \cdot \dfrac{3+\sqrt{9-32 a}}{4}-24 a=0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{9-32 a}=64 a-9 \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ 6 4 a - 9 > 0 } \\
{ 9 ( 9 - 3 2 a ) = ( 6 4 a - 9 ) ^ { 2 } }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l }
{ a \geq \dfrac { 9 } { 6 4 } } \\
{ 4 0 9 6 a ^ { 2 } - 8 6 4 a = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a \geq \dfrac{9}{64} \\
{\left[\begin{array}{l}
a=0 \\
a=\dfrac{27}{128}
\end{array} \Leftrightarrow a=\dfrac{27}{128} .\right.}
\end{array}\right.\right.\right.
\end{aligned}
$