Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \), kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC (H ∈ BC).\) Các tia phân giác của các góc \(\widehat C\) và \(\widehat {BAH}\) cắt nhau ở \(I\). Chứng minh rằng: \(\widehat {AIC} = 90^\circ \)
Phương pháp giải
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}\)
- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(AH \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta AHB\) vuông tại \(H\).
Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat {BAH} = 90^\circ \left( 1 \right)\)
Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 90^\circ \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat C\)
+) Vì AI là tia phân giác của góc BAH nên:
\( \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = {1 \over 2}\widehat {BAH}\left( {gt} \right) \)
+) Vì CI là tia phân giác của góc ACB nên:
\( \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\left( {gt} \right) \)
Mà \(\widehat {BAH} = \widehat C\) suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)
Lại có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {IAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {{C_1}} + \widehat {IAC} = 90^\circ \)
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆ AIC\), ta có:
\(\widehat {AIC} + \widehat {IAC} + \widehat {{C_1}} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {AIC} = {180^o} - \left( {\widehat {IAC} + \widehat {{C_1}}} \right) \)\( = {180^o} - {90^o}= 90^\circ \).
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}\)
- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(AH \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta AHB\) vuông tại \(H\).
Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat {BAH} = 90^\circ \left( 1 \right)\)
Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 90^\circ \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat C\)
+) Vì AI là tia phân giác của góc BAH nên:
\( \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = {1 \over 2}\widehat {BAH}\left( {gt} \right) \)
+) Vì CI là tia phân giác của góc ACB nên:
\( \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\left( {gt} \right) \)
Mà \(\widehat {BAH} = \widehat C\) suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)
Lại có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {IAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {{C_1}} + \widehat {IAC} = 90^\circ \)
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆ AIC\), ta có:
\(\widehat {AIC} + \widehat {IAC} + \widehat {{C_1}} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {AIC} = {180^o} - \left( {\widehat {IAC} + \widehat {{C_1}}} \right) \)\( = {180^o} - {90^o}= 90^\circ \).