Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía vuông góc với nhau.
Phương pháp giải
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^0}\).
- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc trong cùng phía bù nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử có hai đường thẳng \(AB // CD\) cắt đường thẳng \(EF\) tại \(E\) và \(F\).
Hai tia phân giác góc BEF và góc DFE cắt nhau tại K. Ta chứng minh \(EK \bot FK\)
Ta có: \(\widehat {BEF} + \widehat {EFD} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)
\(\displaystyle \widehat {{E_1}} = {1 \over 2}\widehat {{\rm{BEF}}}\) (vì \(EK\) là tia phân giác \(\widehat {BEF}\))
\(\displaystyle \widehat {{F_1}} = {1 \over 2}\widehat {EFD} \) (vìa \(FK\) là tia phân giác \(\widehat {EFD}\))
\(\displaystyle \Rightarrow \widehat {{E_1}} + \widehat {{F_1}} = {1 \over 2}\left( {\widehat {{\rm{BEF}}} + \widehat {EFD}} \right) \)\( =\dfrac{1}{2}{.180^o}= 90^\circ \)
Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào \(∆EKF\), ta có:
\(\widehat {EKF} + \widehat {{E_1}} + \widehat {{F_1}} = {180^o}\)
\(\Rightarrow \widehat {EKF} = 180^\circ - \left( {\widehat {E_1} + \widehat {{F_1}}} \right) \)\( = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
Vậy \(EK \bot FK\).
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^0}\).
- Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra cặp góc trong cùng phía bù nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử có hai đường thẳng \(AB // CD\) cắt đường thẳng \(EF\) tại \(E\) và \(F\).
Hai tia phân giác góc BEF và góc DFE cắt nhau tại K. Ta chứng minh \(EK \bot FK\)
Ta có: \(\widehat {BEF} + \widehat {EFD} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)
\(\displaystyle \widehat {{E_1}} = {1 \over 2}\widehat {{\rm{BEF}}}\) (vì \(EK\) là tia phân giác \(\widehat {BEF}\))
\(\displaystyle \widehat {{F_1}} = {1 \over 2}\widehat {EFD} \) (vìa \(FK\) là tia phân giác \(\widehat {EFD}\))
\(\displaystyle \Rightarrow \widehat {{E_1}} + \widehat {{F_1}} = {1 \over 2}\left( {\widehat {{\rm{BEF}}} + \widehat {EFD}} \right) \)\( =\dfrac{1}{2}{.180^o}= 90^\circ \)
Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào \(∆EKF\), ta có:
\(\widehat {EKF} + \widehat {{E_1}} + \widehat {{F_1}} = {180^o}\)
\(\Rightarrow \widehat {EKF} = 180^\circ - \left( {\widehat {E_1} + \widehat {{F_1}}} \right) \)\( = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
Vậy \(EK \bot FK\).