Google
Câu hỏi: Cho parabol \((P):{y^2} = {1 \over 2}x.\) Gọi M, N là hai điểm di động trên (P) sao cho \(OM \bot ON\) (M, N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải chi tiết
Đặt $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) ; \mathrm{N}\left(\mathrm{x}_{2} ; \mathrm{y}_{2}\right) .$ Do $\mathrm{M} ; \mathrm{N} \in(P): y^{2}=\frac{1}{2} x$
Nên $x_{1}=2 y_{1}^{2} ; x_{2}=2 y_{2}^{2}\left(\right.$ với $\left.\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2} ; \mathrm{y}_{1} ; \mathrm{y}_{2} \neq 0\right)$
Ta có: $\overrightarrow{O M}\left(x_{1} ; y_{1}\right) ; \overrightarrow{O N}\left(x_{2} ; y_{2}\right)$
Do $O M \perp O N \Leftrightarrow x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0$
$2 y_{1}^{2} \cdot 2 y_{2}^{2}+y_{1} y_{2}=0 \Leftrightarrow y_{1} y_{2} \cdot\left(4 y_{1} y_{2}+1\right)=0$
$\Leftrightarrow y_{1} y_{2}=\frac{-1}{4}$ (vì ${{y_1}{y_2} \ne 0}$)
${ }^{*}$ Ta có
$\overrightarrow{M N}=\left(2 y_{2}^{2}-2 y_{1}^{2} ; y_{2}-y_{1}\right)=\left(y_{2}-y_{1}\right) \cdot\left(2 y_{2}+2 y_{1} ; 1\right)$
Vì $y_{2} \neq y_{1}$ nên 1 vecto chỉ phương của đường thằng MN là
$\left(2 y_{2}+2 y_{1} ; 1\right)$
$\Rightarrow>$ Vecto pháp tuyến của $\mathrm{MN}$ là: $\vec{n}\left(1 ;-2 y_{2}-2 y_{1}\right)$
Phương trình tổng quát của MN:
$1\left(x-2 y_{1}^{2}\right)-\left(2 y_{1}+2 y_{2}\right) \cdot\left(y-y_{1}\right)=0$
hay $x-2\left(y_{1}+y_{2}\right) y+2 y_{1} \cdot y_{2}=0$ $(*)$
Mà $y_{1} \cdot y_{2}=-\frac{1}{4}$ nên $\left(^{*}\right)$ suy ra:
$x-2\left(y_{1}+y_{2}\right) y-\frac{1}{2}=0$
Với $x=\frac{1}{2}$ thì $\mathrm{y}=0$
$\Rightarrow \frac{1}{2}-2 \cdot\left(y_{1}+y_{2}\right) \cdot 0-\frac{1}{2}=0\left(\right.$ với $\left.\mathrm{y}_{1} ; \mathrm{y}_{2}\right)$
Do đó, đường thẳng MN luôn đi qua điểm $\left(\frac{1}{2} ; 0\right)$ cố định.
Đặt $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) ; \mathrm{N}\left(\mathrm{x}_{2} ; \mathrm{y}_{2}\right) .$ Do $\mathrm{M} ; \mathrm{N} \in(P): y^{2}=\frac{1}{2} x$
Nên $x_{1}=2 y_{1}^{2} ; x_{2}=2 y_{2}^{2}\left(\right.$ với $\left.\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2} ; \mathrm{y}_{1} ; \mathrm{y}_{2} \neq 0\right)$
Ta có: $\overrightarrow{O M}\left(x_{1} ; y_{1}\right) ; \overrightarrow{O N}\left(x_{2} ; y_{2}\right)$
Do $O M \perp O N \Leftrightarrow x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0$
$2 y_{1}^{2} \cdot 2 y_{2}^{2}+y_{1} y_{2}=0 \Leftrightarrow y_{1} y_{2} \cdot\left(4 y_{1} y_{2}+1\right)=0$
$\Leftrightarrow y_{1} y_{2}=\frac{-1}{4}$ (vì ${{y_1}{y_2} \ne 0}$)
${ }^{*}$ Ta có
$\overrightarrow{M N}=\left(2 y_{2}^{2}-2 y_{1}^{2} ; y_{2}-y_{1}\right)=\left(y_{2}-y_{1}\right) \cdot\left(2 y_{2}+2 y_{1} ; 1\right)$
Vì $y_{2} \neq y_{1}$ nên 1 vecto chỉ phương của đường thằng MN là
$\left(2 y_{2}+2 y_{1} ; 1\right)$
$\Rightarrow>$ Vecto pháp tuyến của $\mathrm{MN}$ là: $\vec{n}\left(1 ;-2 y_{2}-2 y_{1}\right)$
Phương trình tổng quát của MN:
$1\left(x-2 y_{1}^{2}\right)-\left(2 y_{1}+2 y_{2}\right) \cdot\left(y-y_{1}\right)=0$
hay $x-2\left(y_{1}+y_{2}\right) y+2 y_{1} \cdot y_{2}=0$ $(*)$
Mà $y_{1} \cdot y_{2}=-\frac{1}{4}$ nên $\left(^{*}\right)$ suy ra:
$x-2\left(y_{1}+y_{2}\right) y-\frac{1}{2}=0$
Với $x=\frac{1}{2}$ thì $\mathrm{y}=0$
$\Rightarrow \frac{1}{2}-2 \cdot\left(y_{1}+y_{2}\right) \cdot 0-\frac{1}{2}=0\left(\right.$ với $\left.\mathrm{y}_{1} ; \mathrm{y}_{2}\right)$
Do đó, đường thẳng MN luôn đi qua điểm $\left(\frac{1}{2} ; 0\right)$ cố định.