Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \(I({x_0};{y_0}).\) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng Δ qua I.
Lời giải chi tiết
* Trường hợp 1: Nếu I ∈ Δ thì khi Δ’ đối xứng với Δ qua I thì Δ’ ≡ Δ.
* Trường hợp 2: Nếu I ∉ Δ khi đó ∆// ∆’ và Δ; Δ’ cách đều I.
Do đó phương trình tổng quát của Δ' có dạng \(ax + by + c' = 0 (c' \ne c)\).
Ta có Δ; Δ’ cách đều I nên
$d(I, \Delta)=d\left(I, \Delta^{\prime}\right)$
$\Leftrightarrow \frac{\left|a x_{0}+b y_{o}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\left|a x_{0}+b y_{o}+c^{\prime}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a x_{0}+b y_{0}+c=a x_{0}+b y_{0}+c^{\prime} \\ a x_{0}+b y_{0}+c=-a x_{0}-b y_{0}-c^{\prime}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}c=c^{\prime} \\ c^{\prime}=-c-2\left(a x_{o}+b y_{o}\right)\end{array}\right.$
Loại trường hợp \(c=c’\).
Vậy \(\Delta ' :ax + by - c - 2(a{x_o} + b{y_o}) = 0\)
* Trường hợp 1: Nếu I ∈ Δ thì khi Δ’ đối xứng với Δ qua I thì Δ’ ≡ Δ.
* Trường hợp 2: Nếu I ∉ Δ khi đó ∆// ∆’ và Δ; Δ’ cách đều I.
Do đó phương trình tổng quát của Δ' có dạng \(ax + by + c' = 0 (c' \ne c)\).
Ta có Δ; Δ’ cách đều I nên
$d(I, \Delta)=d\left(I, \Delta^{\prime}\right)$
$\Leftrightarrow \frac{\left|a x_{0}+b y_{o}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\left|a x_{0}+b y_{o}+c^{\prime}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a x_{0}+b y_{0}+c=a x_{0}+b y_{0}+c^{\prime} \\ a x_{0}+b y_{0}+c=-a x_{0}-b y_{0}-c^{\prime}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}c=c^{\prime} \\ c^{\prime}=-c-2\left(a x_{o}+b y_{o}\right)\end{array}\right.$
Loại trường hợp \(c=c’\).
Vậy \(\Delta ' :ax + by - c - 2(a{x_o} + b{y_o}) = 0\)