Bài 1 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Xét vị trí tương đối của các đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau

Câu a​

\({\Delta _1}:3x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x + 3y - 5 = 0;\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \({3 \over 2} \ne - {2 \over 3}\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
Cách khác:
Ta có : $\Delta_{1}$ nhận $\overrightarrow{\boldsymbol{n}_{\mathbf{1}}}(3 ;-2)$ làm vecto pháp tuyến $\Delta_{2}$ nhận $\overrightarrow{\boldsymbol{n}_{2}}(2 ; 3)$ làm vecto pháp tuyến
Mà $n_{1} ; \overrightarrow{n_{2}}$ không cùng phương, vậy $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ cắt nhau

Câu b​

\({\Delta _1}:\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = - 1 + t \hfill \cr} \right.\)
và
\({\Delta _2}:\left\{ \matrix{
x = 7-{4t'} \hfill \cr
y = 5-{2 t'} \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình tổng quát của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\):
\(\begin{array}{l}
{\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}
{M_1}\left({4; - 1} \right)\\
\overrightarrow {{u_1}} = \left({2; 1} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 1}}{1}\\
\Leftrightarrow x - 4 = 2\left({y + 1} \right)\\
\Leftrightarrow x - 2y - 6 = 0\\
{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}
{M_2}\left({7; 5} \right)\\
\overrightarrow {{u_2}} = \left({ - 4; - 2} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \frac{{x - 7}}{{ - 4}} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}}\\
\Leftrightarrow - 2\left({x - 7} \right) = - 4\left({y - 5} \right)\\
\Leftrightarrow x - 7 = 2\left({y - 5} \right)\\
\Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0
\end{array}\)
Ta có \({1 \over 1} = {{ - 2} \over { - 2}} \ne {{ - 6} \over 3}\) nên \({\Delta _1}\) // \({\Delta _2}\).
Cách khác:
\({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}
{M}\left({4; - 1} \right)\\
\overrightarrow {{u_1}} = \left({2; 1} \right)
\end{array} \right.\)
$\Delta_{2}$ nhận $\overrightarrow{u_{2}}(-4 ;-2)$ làm vecto chỉ phương.
Do $\overrightarrow{u_{2}}=-2 \overrightarrow{u_{1}} \Rightarrow \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}$ cùng phương
Mặt khác điểm $\mathrm{M} \notin \Delta_{2} \Rightarrow \Delta_{1}=\Delta_{2}$

Câu c​

\({\Delta _1}:\left\{ \matrix{
x = 3 + 4t \hfill \cr
y = - 2 - 5t \hfill \cr} \right.\)
và \({\Delta _2}:5x + 4y - 7 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình tổng quát của \({\Delta _1}\):
\(\begin{array}{l}
{\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}
{M_1}\left({3; - 2} \right)\\
\overrightarrow {{u_1}} = \left({4; - 5} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \frac{{x - 3}}{4} = \frac{{y + 2}}{{ - 5}}\\
\Leftrightarrow - 5\left({x - 3} \right) = 4\left({y + 2} \right)\\
\Leftrightarrow - 5x - 4y + 7 = 0\\
\Leftrightarrow 5x + 4y - 7 = 0
\end{array}\)
Do đó \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\).
Cách khác:
$\Delta_{1}$ đi qua $\mathrm{N}(3 ;-2)$
nhận $\overrightarrow{u_{1}}(4 ;-5)$ làm vecto chỉ phương.
$\Delta_{2}$ nhận $\overrightarrow{n_{2}}(5 ; 4)$ làm vecto pháp tuyến
$\Rightarrow \vec{u}_{1}. \overrightarrow{n_{2}}=0$
Lại có:
N thuộc đường thẳng $\Delta_{2}$ nên hai đường thẳng này trùng nhau.