Bài 10 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) và hypebol \((H):{{{x^2}} \over 5} - {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

Câu a​

Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H).
Lời giải chi tiết:
Với \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) ta có:
\({a^2} = 5,{b^2} = 4\) \(\Rightarrow a = \sqrt 5, b = 2\)
\(\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 1\)
Tọa độ các tiêu điểm của (E) là \({F_1}( - 1; 0) , {F_2}(1; 0)\)
Với (H) : \({{{x^2}} \over 5} - {{{y^2}} \over 4} = 1\) , ta có:
\({a^2} = 5,{b^2} = 4\) \(\Rightarrow a = \sqrt 5, b = 2\)
\(\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 3\)
Tọa độ các tiêu điểm của (H) là \({F_1'}( - 3; 0) , {F_2'}(3; 0)\)

Câu b​

Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) trong cùng một hệ trục tọa độ.
Lời giải chi tiết:
Vẽ (E) và (H).

(E) nhận Ox, Oy làm hai trục đối xứng
\({F_1}( - 1; 0) , {F_2}(1; 0)\) làm tiêu điểm
Cắt Ox tại \(\left( { - \sqrt 5; 0} \right),\left({\sqrt 5; 0} \right)\) và cắt Oy tại \(\left( {0; - 2} \right),\left({0; 2} \right)\)
(H) nhận \({F_1'}( - 3; 0) , {F_2'}(3; 0)\) làm tiêu điểm, trục Ox, Oy là trục đối xứng
Các đường thẳng \(y =  \pm \frac{2}{{\sqrt 5 }}x\) là tiệm cận.

Câu c​

Tìm tọa độ các giao điểm của (E) và (H).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr 
{{{x^2}} \over 5} - {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} = 5 \hfill \cr 
{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \pm \sqrt 5 \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy tọa đô giao điểm của (E) và (H) là \(\left( {\sqrt 5; 0} \right)\) và \(\left( -{\sqrt 5; 0} \right)\) .