Google
Câu hỏi: Cho hai đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0\) và \({x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0.\) Giả sử chúng cắt nhau ở hai điểm M, N. Viết phương trình đường thẳng MN.
Lời giải chi tiết
* Do hai đường tròn (C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 và (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 cắt nhau tại hai điểm M, N.
*Do (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt M và N nên hai đường tròn này không đồng tâm.
=> (a2 - a1)2 + (b2 - b1)2 ≠ 0 .
Tọa độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0 \left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0 \left(2 \right)\end{array} \right.\)
* Lấy (2) trừ (1) vế trừ vế ta được:
2(a2 – a1 )x + 2(b2 – b1 ). Y + (c2 – c1 ) = 0 (*)
Do (a2 - a1)2 + (b2 - b1)2 ≠ 0 nên (*) là phương trình đường thẳng
Vậy nếu (C1) và (C2) cắt nhau tại M, N thì tọa độ M, N thỏa mãn phương trình (*) hay (*) là phương trình đường thẳng MN.
Cách khác:
Hai đường tròn cắt nhau tại M, N thì trục đẳng phương của chúng chính là đường thẳng MN.
Áp dụng bài 7 thì MN có phương trình là
\(MN : 2({a_1} - {a_2})x + 2({b_1} - {b_2})y + {c_1} - {c_2} = 0\)
* Do hai đường tròn (C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 và (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 cắt nhau tại hai điểm M, N.
*Do (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt M và N nên hai đường tròn này không đồng tâm.
=> (a2 - a1)2 + (b2 - b1)2 ≠ 0 .
Tọa độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0 \left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0 \left(2 \right)\end{array} \right.\)
* Lấy (2) trừ (1) vế trừ vế ta được:
2(a2 – a1 )x + 2(b2 – b1 ). Y + (c2 – c1 ) = 0 (*)
Do (a2 - a1)2 + (b2 - b1)2 ≠ 0 nên (*) là phương trình đường thẳng
Vậy nếu (C1) và (C2) cắt nhau tại M, N thì tọa độ M, N thỏa mãn phương trình (*) hay (*) là phương trình đường thẳng MN.
Cách khác:
Hai đường tròn cắt nhau tại M, N thì trục đẳng phương của chúng chính là đường thẳng MN.
Áp dụng bài 7 thì MN có phương trình là
\(MN : 2({a_1} - {a_2})x + 2({b_1} - {b_2})y + {c_1} - {c_2} = 0\)