Google
Câu hỏi: Cho parabol \((P):{y^2} = 2px.\) Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên Oy và I là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử \(M({x_o} ; {y_o}) \in (P)\) ta có \(y_o^2 = 2p{x_o} ({x_o} \ne 0)\).
M’ là hình chiếu của M trên Oy nên \(M'(0 ; {y_o})\), khi đó \(I\left( {0 ; {{{y_o}} \over 2}} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {{x_o} ; {{{y_o}} \over 2}} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM.
IM đi qua \(I\left( {0 ; {{{y_o}} \over 2}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {{x_o} ; {{{y_o}} \over 2}} \right)\) nên phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = {x_o}. T \hfill \cr
y = {{{y_o}} \over 2} + {{{y_o}} \over 2}. T \hfill \cr} \right.\)
Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được
\(\begin{array}{l}
{\left({\frac{{{y_0}}}{2} + \frac{{{y_0}}}{2}t} \right)^2} = 2p{x_0}t\\
\Leftrightarrow \frac{{y_0^2}}{4}{\left({1 + t} \right)^2} = 2p{x_0}t
\end{array}\)
Mà \(2p{x_o} = y_o^2\) nên
\(\frac{{y_0^2}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} = y_0^2t \) \(\Leftrightarrow y_o^2(1 + {t})^2 = 4y_o^2t \Leftrightarrow (1 + {t})^2 = 4t \) (do \({y_o} \ne 0\))
\(\Leftrightarrow 1 + 2t + {t^2} - 4t = 0 \) \(\Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất \(M({x_o} ; {y_o}) \) .
Giả sử \(M({x_o} ; {y_o}) \in (P)\) ta có \(y_o^2 = 2p{x_o} ({x_o} \ne 0)\).
M’ là hình chiếu của M trên Oy nên \(M'(0 ; {y_o})\), khi đó \(I\left( {0 ; {{{y_o}} \over 2}} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {{x_o} ; {{{y_o}} \over 2}} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM.
IM đi qua \(I\left( {0 ; {{{y_o}} \over 2}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {{x_o} ; {{{y_o}} \over 2}} \right)\) nên phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = {x_o}. T \hfill \cr
y = {{{y_o}} \over 2} + {{{y_o}} \over 2}. T \hfill \cr} \right.\)
Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được
\(\begin{array}{l}
{\left({\frac{{{y_0}}}{2} + \frac{{{y_0}}}{2}t} \right)^2} = 2p{x_0}t\\
\Leftrightarrow \frac{{y_0^2}}{4}{\left({1 + t} \right)^2} = 2p{x_0}t
\end{array}\)
Mà \(2p{x_o} = y_o^2\) nên
\(\frac{{y_0^2}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} = y_0^2t \) \(\Leftrightarrow y_o^2(1 + {t})^2 = 4y_o^2t \Leftrightarrow (1 + {t})^2 = 4t \) (do \({y_o} \ne 0\))
\(\Leftrightarrow 1 + 2t + {t^2} - 4t = 0 \) \(\Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất \(M({x_o} ; {y_o}) \) .