Bài 11 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho đường thẳng \(\Delta :2x - y - m = 0\) và elip \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

Câu a​

Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?
Lời giải chi tiết:
Tọa độ giao điểm của Δ và (E) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
2x - y - m = 0 \hfill \cr 
{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 2x - m (1) \hfill \cr 
{{{x^2}} \over 5} + {{{{(2x - m)}^2}} \over 4} = 1 (2) \hfill \cr} \right.\)
Ta có (2) \( \Leftrightarrow 4{x^2} + 5(4{x^2} - 4mx + {m^2}) = 20\)
\(\Leftrightarrow 24{x^2} - 20mx + 5{m^2} - 20 = 0 (*)\)
+ Δ  cắt (E) tại hai điểm phân biệt
⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \Delta ' = 100{m^2} - 24(5{m^2} - 20) > 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 20{m^2} + 480 > 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2} < 24 \Leftrightarrow - 2\sqrt 6 < m < 2\sqrt 6 \cr} \)

Câu b​

Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất?
Lời giải chi tiết:
Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất \( \Leftrightarrow \) (*) có nghiệm duy nhất
\( \Leftrightarrow \Delta ' =0 \) \(\Leftrightarrow - 20{m^2} + 480 = 0\)
\( \Leftrightarrow m =  \pm 2\sqrt 6 \)