Google
Câu hỏi: Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Chọn hệ tọa độ \((O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j)\), trong đó \(O \) là trung điểm của cạnh \(BC\), \(\overrightarrow i \) cùng hướng với \(\overrightarrow {OC} \), \(\overrightarrow j \) cùng hướng với \(\overrightarrow {OA} \).
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác \(ABC\).
b) Tìm tọa độ trung điểm \(E\) của \(AC\).
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác \(ABC\).
b) Tìm tọa độ trung điểm \(E\) của \(AC\).
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Phương pháp giải
Dựng hình, tìm tọa độ các điểm dựa vào các tính chất hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
A) Do \(O\) là trung điểm \(CB\) nên \(OB = OC = \dfrac{a}{2}\) và \(OA = \sqrt {A{C^2} - O{C^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Từ hình vẽ ta suy ra \(A\left( {0;\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right), B\left({ - \dfrac{a}{2}; 0} \right), C\left({\dfrac{a}{2}; 0} \right)\)
b) Do \(E\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_E} = \dfrac{{0 + \dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}\\{y_E} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + 0}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.\) nên \(E\left( {\dfrac{a}{4};\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\)
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm của tam giác.
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{0 + \left( { - \dfrac{a}{2}} \right) + \dfrac{a}{2}}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + 0 + 0}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array} \right.\) hay \(G\left( {0;\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)\).
Dựng hình, tìm tọa độ các điểm dựa vào các tính chất hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
A) Do \(O\) là trung điểm \(CB\) nên \(OB = OC = \dfrac{a}{2}\) và \(OA = \sqrt {A{C^2} - O{C^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Từ hình vẽ ta suy ra \(A\left( {0;\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right), B\left({ - \dfrac{a}{2}; 0} \right), C\left({\dfrac{a}{2}; 0} \right)\)
b) Do \(E\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_E} = \dfrac{{0 + \dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}\\{y_E} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + 0}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.\) nên \(E\left( {\dfrac{a}{4};\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\)
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm của tam giác.
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{0 + \left( { - \dfrac{a}{2}} \right) + \dfrac{a}{2}}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + 0 + 0}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array} \right.\) hay \(G\left( {0;\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)\).