Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng nếu \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right|\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C\).
Phương pháp giải
- Dựng hình bình hành \(CADB\).
- Sử dụng quy tắc hình bình hành và quy tắc trừ véc tơ để nhận xét độ dài các véc tơ.
Lời giải chi tiết
Vẽ hình bình hành \(CADB\). Ta có \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CD} \), do đó \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = CD\)
Vì \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA} \), Do đó \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right| = BA\).
Từ \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right|\) suy ra \(CD = AB\)
Vậy tứ giác \(CADB\) là hình chữ nhật. Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).
- Dựng hình bình hành \(CADB\).
- Sử dụng quy tắc hình bình hành và quy tắc trừ véc tơ để nhận xét độ dài các véc tơ.
Lời giải chi tiết
Vẽ hình bình hành \(CADB\). Ta có \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CD} \), do đó \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = CD\)
Vì \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA} \), Do đó \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right| = BA\).
Từ \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right|\) suy ra \(CD = AB\)
Vậy tứ giác \(CADB\) là hình chữ nhật. Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).