Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng phương trình :
\({x^2}\cos x + x\sin x + 1 = 0\)
Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π).
\({x^2}\cos x + x\sin x + 1 = 0\)
Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π).
Phương pháp giải
Sử dụng định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và \(f(a). F(b)<0\) thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a; b) sao cho f(c)=0.
Lời giải chi tiết
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x + x\sin x + 1\) liên tục trên đoạn\(\left[ {0;\pi } \right]\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f\left(0 \right) = {0^2}\cos 0 + 0\sin 0 + 1 = 1 > 0\\
f\left(\pi \right) = {\pi ^2}\cos \pi + \pi \sin \pi + 1\\
= {\pi ^2}.\left({ - 1} \right) + \pi. 0 + 1 = 1 - {\pi ^2} < 0
\end{array}\)
Vì \(f(0). F(1) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in (0; π)\) sao cho \(f(c) = 0\).
Hay phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm (số c) trong khoảng \((0;\pi)\).
Sử dụng định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và \(f(a). F(b)<0\) thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a; b) sao cho f(c)=0.
Lời giải chi tiết
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x + x\sin x + 1\) liên tục trên đoạn\(\left[ {0;\pi } \right]\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f\left(0 \right) = {0^2}\cos 0 + 0\sin 0 + 1 = 1 > 0\\
f\left(\pi \right) = {\pi ^2}\cos \pi + \pi \sin \pi + 1\\
= {\pi ^2}.\left({ - 1} \right) + \pi. 0 + 1 = 1 - {\pi ^2} < 0
\end{array}\)
Vì \(f(0). F(1) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in (0; π)\) sao cho \(f(c) = 0\).
Hay phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm (số c) trong khoảng \((0;\pi)\).