Google
Câu hỏi: Cho hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{2\left| x \right| - 1 \text{ với } x \le - 2,} \cr {\sqrt {2{x^2} + 1} \text{ với } x > - 2.} \cr} } \right.\)
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left(x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ + }} f\left(x \right)\) \(\text{ và } \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right)\) (nếu có).
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{2\left| x \right| - 1 \text{ với } x \le - 2,} \cr {\sqrt {2{x^2} + 1} \text{ với } x > - 2.} \cr} } \right.\)
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left(x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ + }} f\left(x \right)\) \(\text{ và } \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right)\) (nếu có).
Phương pháp giải
Tìm hàm số ứng với điều kiện của x, từ đó tính giới hạn.
Chú ý:
\(x \to x_0^ + \) nghĩa là \(x \to x_0 \) và \(x > x_0 \).
\(x \to x_0^ - \) nghĩa là \(x \to x_0 \) và \(x < x_0 \).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ - }} f\left(x \right)= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ - }} \left({2\left| x \right| - 1} \right) \cr &= 2\left| { - 2} \right| - 1 = 3 \cr
& \mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ + }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ + }} \sqrt {2{x^2} + 1} = 3 \cr & \text{Vì }\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ - }} f\left(x \right)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ + }} f\left(x \right)=3\cr &\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left(x \right) = 3. \cr} \)
Tìm hàm số ứng với điều kiện của x, từ đó tính giới hạn.
Chú ý:
\(x \to x_0^ + \) nghĩa là \(x \to x_0 \) và \(x > x_0 \).
\(x \to x_0^ - \) nghĩa là \(x \to x_0 \) và \(x < x_0 \).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ - }} f\left(x \right)= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ - }} \left({2\left| x \right| - 1} \right) \cr &= 2\left| { - 2} \right| - 1 = 3 \cr
& \mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ + }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ + }} \sqrt {2{x^2} + 1} = 3 \cr & \text{Vì }\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ - }} f\left(x \right)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left({ - 2} \right)}^ + }} f\left(x \right)=3\cr &\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left(x \right) = 3. \cr} \)