Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều \(S. ABC \) có \(SH\) là đường cao. Chứng minh \(SA ⊥ BC\) và \(SB ⊥ AC\).
Phương pháp giải
Chứng minh \(BC \bot \left( {SAH} \right); AC \bot \left({SBH} \right)\).
Lời giải chi tiết
Hình chóp tam giác đều nên ta có \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\)
\(SH ⊥ (ABC) \Rightarrow SH ⊥ BC\)
Và \(AH ⊥ BC\) (vì \(H\) là trực tâm)
Suy ra \(BC ⊥ (SAH)\)
\(SA\subset (SAH)\Rightarrow BC ⊥ SA\).
Chứng minh tương tự, ta có:
\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AC\).
Mà H là trực tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow BH \bot AC\)
\(\Rightarrow AC \bot \left( {SBH} \right); SB \subset \left({SBH} \right) \) \(\Rightarrow AC \bot SB\)
Cách khác:
Sử dụng định lí ba đường vuông góc
+ Ta có: AH ⊥ BC
Mà AH là hình chiếu của SA trên (ABC)
⇒ BC ⊥ SA (định lí ba đường vuông góc)
+ Lại có : AC ⊥ BH.
BH là hình chiếu của SB trên (ABC)
⇒ AC ⊥ SB (định lí ba đường vuông góc)
Chứng minh \(BC \bot \left( {SAH} \right); AC \bot \left({SBH} \right)\).
Lời giải chi tiết
Hình chóp tam giác đều nên ta có \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\)
\(SH ⊥ (ABC) \Rightarrow SH ⊥ BC\)
Và \(AH ⊥ BC\) (vì \(H\) là trực tâm)
Suy ra \(BC ⊥ (SAH)\)
\(SA\subset (SAH)\Rightarrow BC ⊥ SA\).
Chứng minh tương tự, ta có:
\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AC\).
Mà H là trực tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow BH \bot AC\)
\(\Rightarrow AC \bot \left( {SBH} \right); SB \subset \left({SBH} \right) \) \(\Rightarrow AC \bot SB\)
Cách khác:
Sử dụng định lí ba đường vuông góc
+ Ta có: AH ⊥ BC
Mà AH là hình chiếu của SA trên (ABC)
⇒ BC ⊥ SA (định lí ba đường vuông góc)
+ Lại có : AC ⊥ BH.
BH là hình chiếu của SB trên (ABC)
⇒ AC ⊥ SB (định lí ba đường vuông góc)