Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$...

Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \left( do SA\bot \left( ABC \right), BC\subset \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên cạnh $SB$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \left( do BC\bot \left( SAB \right), AH\subset \left( SAB \right) \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$.
Khi đó $AH$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao $\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$.
Mà $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}=2A{{B}^{2}}$ $\Rightarrow AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.
$\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}$.
$\Rightarrow AH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.